Akhir yang bahagia

Setiap hari minggu pada musim dingin tahun 1933, di Budhapest. Sekelompok kecil Mahasiswa bertemu di taman kota atau di Kafe untuk berdiskusi tentang Matematika. Mahasiswa-mahasiswa yang biasanya mengikuti pertemuan adalah Paul Erdös, György (George) Szekeres, Esther Klein.

Pada satu pertemuan, Esther Klein memberikan tantangan kepeda pesarta diskusi untuk memecahkan masalah pada geometri bidang yang baru saja ia temukan. Bayangkan ada 5 titk yang terletak pada bidang datar. Peletakan 5 titik tersebut bebas asalkan tidak ada 3 titik yang segaris. jika 4 titik di hubungkan dengan garis maka akan membentuk segi empat. Esther menyadari jika diberikan 5 titik dengan tidk ada 3 titik yang segaris maka 4 dari 5 titik akan selalu bisa membentuk segi-empat yang cembung (convex).

Apa itu cembung?

Konsep cembung-cekung pada Geometri itu mirip-mirip dengan konsep cebung-cekung pada Lensa. Suatu segi-n dikatakan conveks jika tidak ada sudut cekung yaitu menjorok kedalam dengan kata lain tidak mempunyai sudut dalam (interior angles) lebih dari 180°


ACDE conveks tetapi ABCE (yang diasir) tidak karena sudut B cekung, menjorok kedalam

Esther bertanya kepada peserta diskusi apakah mampu membuktikan bahwa segi empat yang cembung akan selalu ada jika diberikan 5 titik yang terletak pada bidang dengan tidak ada 3 titik yang segaris.  Setelah memeberikan waktu kepada peserta diskusi untuk menjawab, Esther menjelaskan pembuktiannya. Menurutnya ada 3 cara bagaimana meletakkan sebarang 5 titik pada bidang, Pertama ke-4 titik membentuk segi-4 yangcembung dan 1 titik tersisa berada didalam. Kedua ke-4 titik membentuk segi-4 yang cembung dan 1 titik tersisa berada diluar. Terakhir tiga titik memebentuk segitiga dan 2 titik tersisa didalam segitiga maka pastilah kedua titik tersisa akan membentuk segi-4 cembung dengan 2 titik dari segitiga.

Ternyata masalah yang dilempar oleh  Esther amat menarik perhatian kelompok belajar itu untuk mendalaminya lebih lanjut. Pada tahun 1935 Erdos dan Szekeres menerbitkan paper berjudul A Combinatorial Problem in Geometry, yang membahas generalisasi dari masalah tersebut.

Apakah terdapat fungsi N(n)=N sedemikian hingga terdapat himpunan yang memuat paling banyak N titik yang terletak pada bidang dan tidak ada 3 titik yang segaris serta terdapat himpunan bagian sebanyak n titik yang membentuk segi-n cembung?

Nah…pertanyaan inilah yang oleh Erdos dinamakan Masalah yang berakhir berakhir bahagia (Happy Ending Problem), karena merujuk perrnikahan Szekeres dan Esther di tahun yang sama.

 Erdos dan Szekeres mengatakan bahwa pertanyaan diatas mengakibatkan 2 pertanyaan penting yang harus dijawab.

  1. Apakah fungsi N(n), itu ada?
  2. Jika, ya bagaimana mendefinsikan fungsi N(n)=N?

Mereka berdua hanaya mampu menjawab pertanyaan pertama, Ya fungsi N(n), itu ada tetapi mereka tidak mampu menjawab pertanyaan yang kedua. Mereka hanya mampu menemukan batas atas dan bawah dari  N(n), yaitu

2^{n-2}+1\leq N\left(n\right)\leq{2n-4 \choose n-2}+1, untuk 4\leq n

Dengan {n \choose k} adalah koefisen binomial.

Sampai detik ini pertanyaan ke-2 belum terjawab. Belum ada yang mampu mendefinisikan  N(n). Pada tahun1970, diketahui N(5)=9 dan tahun 2007 diketahui N(6)=17. Berapa N(n) untuk 6<n?, masih merupakan misteri. Akan tetapi setidaknya kita tahu bahwa nilai  N(n) selalu berhingga.

Kredit gambar: Planetmath.org dan Maa.org

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in geometri and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s