Perbedaan definisi fungsi kontinyu di kalkulus dan di Analisis Real

Buku kalkulus yang saya punya adalah Kalkulus dan Geoemtri Analisis, Purcell, edisi Terjemahan, sedangkan buku analisi real yang saya punya: Introduction to Real Analysis, Bartle. Saya baru ngeh baru sadar ternyata definisi fungsi kontinyu pada kedua buku tersebut berbeda dan perbedaan tersebut tidak ekuivalen. Setelah saya melakukan penelusuran di Internet, saya sampai pada satu kesimpulan definisi fungsi kontinyu di kalkulus berbeda dengan yang ada di Analisis Real.

Kalkulus mengatakan

Diberikan A\subseteq\mathbb{R}f:A\rightarrow\mathbb{R} dan c\in A. Fungsi f dikatakan kontinyu di titik c, jika berlaku: f(c) terdefinsi dan \lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=f(c)

Sekarang kita jabarkan  \lim_{x\rightarrow c}f\left(c\right)=c kedalam bentuk epsilon-delta, diperoleh pernyataan.

Untuk sebarang \epsilon >0 terdapat \delta >0 sedemikian hingga, jika 0<|x-c|<\delta dengan x\in A maka |f(x)-f(c)|<\epsilon.

Sedangkan Analisis real berkata

Diberikan A\subseteq\mathbb{R}f:A\rightarrow\mathbb{R} dan c\in A. Fungsi f dikatakan kontinyu di titik c, jika berlaku pernyataan berikut.

Untuk sebarang \epsilon >0 terdapat \delta >0 sedemikian hingga, jika |x-c|<\delta dengan x\in A maka |f(x)-f(c)|<\epsilon.

Dimana letak perbedaannya?

Kalkulus mengatakan 0<|x-c|<\delta, itu artinya jarak x ke c tidak boleh nol. Dengan kata lain x haruslah berbeda dengan c (x\neq c)

Sedangkan analisis Real mengatakan |x-c|<\delta, itu artinya jarak x ke c boleh nol. Dengan kata lain boleh saja x=c.  Jadi definsi kekontinyuan di analisis real tidak serupa dengan \lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=f(c)

 Apa akibat dari perbedaan ini?

Titik terasing kontinyu atau diskontinyu?

Definsi: Diberikan A\subseteq\mathbb{R}, dan c\in A. Titik c dikatakan titik terasing (Isolated point), jika terdapat r>0 sedemikian hingga A\cap\left(c-r,c+r\right)=\left\{ c\right\}

Contoh: A=\left[0,3\right]\cup\left\{ 20\right\} , jelas 20 adalah titik terasing di A

Di kalkulus, sebarang fungsi akan selalu diskontinyu di titik terasing sebaliknya di analisis real akan selalu kontinyu di titik tersebut. Untuk lebih jelasnya lihat contoh berikut.

Contoh: Diberikan   A=\left[0,3\right]\cup\left\{ 20\right\} dan f:A\rightarrow\mathbb{R} yang didefinsikan g(x)=2x.

Menurut kalkulus, fungsi g(x) diskontinyu di 20. Karena \lim_{x\rightarrow20}g\left(20\right)=g\left(20\right) tidak ada. Mengapa tidak ada? Karena untuk sebarang \epsilon >0 tidak berlaku |g(x)-g(20)|<\epsilon, dengan x\in A dan x\neq 20

Sebaliknya menurut analisis real, fungsi g(x) kontinyu di 20. Jika kita ambil x=20 maka jelas berlaku

|20-20|<\delta\Rightarrow|g\left(20\right)-g\left(20\right)|<\epsilon.

Dalam analisis real, definsi fungsi f kontinyu di titik c akan memenuhi \lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=f(c), jika c merupakan titik akumulasi.

Definsi : Diberikan A\subseteq\mathbb{R}, dan c\in A. Titik c dikatakan titik Akumulasi (Accumulation point), jika untuk sebarang r>0, terdapat y\neq c sedemikian hingga y\in A\cap\left(c-r,c+r\right).

Secara sederhana titik akumulasi merupakan lawan dari titik terasing

Yang jadi pertanyaan buat saya.

Mengapa perbedaan ini terjadi?

Kalian jangan anggap remeh perbedaan ini, Jika kalian mendapatkan soal sebagai berikut.

Diberikan himpunan bilangan asli \mathbb{N} dan h:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R} yang didefinsikan h(x)=x/2.

Apakah h(x) kontinyu di \mathbb{N}?

Hayoo.. apa jawaban kalian? Tergantung definsi kekontinyuan mana yang kalian gunakan.

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis, kalkulus and tagged , , , , , , . Bookmark the permalink.

15 Responses to Perbedaan definisi fungsi kontinyu di kalkulus dan di Analisis Real

  1. septian says:

    kalo fungsi kontinyu di graf bagaimana?? ada yang tahu? terkait itu saya masih bertanya tanya… khususnya di pemetaan graf… di sana di katakan bahwa misal G graf sederhana dan f: G->G adalah fungsi kontinyu. maksy=uk kata fungsi kontinyu itu apa ya??

  2. yang betul di kalkulus mas, di buku mbah bartle edisi ke-3, definisinya sama. definisi 4.1.4 hal 98.

  3. alvein says:

    guys… da yg tw penjelasan fungsi limit dalam kehidupan sehari”……..
    tolong donk brooo

  4. homotopi says:

    wkwkwkw diskusi yang mantap tet!

  5. zack says:

    oke mas,, trims dah di edit..

    bukannya itu yg di kalkulus ma real definisinya equivalen ya?? kok aq tetep ngeliatnya equivalen ya?? ada yg salah ma pemahaman q?? hmmmm…. hehe

    coba :
    \lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=f(c)

  6. zack says:

    hmmm… kalo yg aq dapet di kalkulus dulu sh,,
    Diberikan A\subseteq\mathbb{R}, f:A\rightarrow\mathbb{R} dan c\in A. Fungsi f dikatakan kontinyu di titik c, jika berlaku:
    f(c) terdefinsi/ada
    \lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right) ada
    \lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=f(c)
    (sebenernya analog sh ma yg mas tulis.. hehe)

    bukannya kalo f(c) terdefinisi itu berarti x boleh sama dengan c ya mas?? soalnya nilai f di c masih terdefinisi.. ya g sh?? hehe

    (btw, lumayan nh.. dpt blog keren… hehe)

    • zack says:

      sbnr e intinya di “\lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=f(c)” ya g sh mas?? hehe

      • Aria Turns says:

        Yup, intinya apakah fungsi f dikatakan kontinyu di c harus memenuhi \lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=f(c)?
        Menurut kalkulus, Ya harus sedangkan menurut analisis real, tidak harus.
        Tentunya kita bertanya dong , Jadi mana yang bener nich?
        Oya untuk pakai latex caranya $lat*ex kode latex $
        Note: hapus *
        Tadi saya edit komenmu supaya latexnya muncul

  7. Aria Turns says:

    Yup… titik closur dan titik akumulasi tu sami mawon. Coba baca lagi buku analisis real mu. Buku Introduction to Real Analysis karangan Mbah Bartle yang saya punya dengan tegas menyatakan fungsi f pasti kontinyu di titik terasing

  8. rossi fauzi says:

    titik closur dan titik acumulation sma ndak ka’……? setau q, di analisis real tuk fungsi kontinu yg digunakan titik closur, dan titik closur tu x tdk = c, bner ndak……:-) ?

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s