Tangga Setan

Fungsi Cantor adalah fungsi yang spesial karena fungsi tersebut kontinyu, naik dari 0 menuju 1 tetapi memepunyai turunan nol hampir disemua titik, selain itu fungsi cantor mempunyai julukan seram yaitu Tangga setan (Devil’s staircase).

Sebelum kita mendefinisikan fungsi Cantor, kita harus mengkontruksikan interval-interval sebagai berikut:

  1. Diberikan interval tertutup [0,1], kemudian bagi menjadi 3 bagian sama panjang lalu hilangkan bagian tengahnya yaitu: interval terbuka I^1_1=\left(1/3,2/3\right).
  2. Diperoleh 2 interval tertutup [0,1/3] dan [2/3,1], lakukan hal serupa kepada 2 interval tertutup tadi, hilangkan interval terbuka I_{1}^{2}=\left(1/9,2/9\right) dan I_{2}^{2}=\left(7/9,8/9\right).
  3. Interval tersisa adalah \left[0,1/9\right],\left[2/9,1/3\right],\left[2/3,7/9\right] dan \left[8/9,1\right], lakukan hal serupa, hilangkan interval terbuka I_{1}^{3}=\left(2/27,3/27\right),I_{2}^{3}=\left(7/27,8/27\right) dan I_{4}^{3}=\left(25/27,26/27\right).

Lanjutkan terus langkah diatas, sampai langkah ke-n, interval yang dihilangkan adalah I_{1}^{n},I_{2}^{n},\ldots,I_{k}^{n},\ldots,I_{2^{n-1}}^{n}.

Jika I adalah gabungkan semua I_k^n maka komplemen I adalah himpunan Cantor C.

Fungsi Cantor

Diberikan fungsi cantor, f:\left[0,1\right]\rightarrow\left[0,1\right], yang didefinisikan sebagai berikut:

f\left(x\right)\begin{cases}0 & x=0\\1 & x=1\\k/2^{n} & x\in I_{k}^{n},,k=1,2,\ldots,2^{n-1}\end{cases}

Contoh:

f(x)=1/2 untuk x\in I_1^1

f(x)=2/8 untuk x\in I_3^2

f(x)=16/32 untuk x\in I_{16}^5

Fungsi Cantor terdefinisi di I tetapi tidak di C, supaya fungsi cantor terdefinisi pada semua titik [0,1], kita harus membuat fungsi cantor terdefinsi pada C. Diberikan p\in C maka terdapat barisan naik (increasing sequence) {x_n} dengan x_n\in I yang konvergen ke p, begitupula terdapat barisan turun (decreasing sequence) {y_n} dengan y_n\in I yang konvergen ke p. Karena f terdefinisi pada {x_n} dan {y_n} maka dedefinsikan

f \left(p\right)=\lim_{x_{n}\rightarrow p}f\left(x_{n}\right)=\lim_{y_{n}\rightarrow p}f\left(y_{n}\right).

Sekarang fungsi cantor terdefinisi pada semua titik [0,1]. Jika digambar grafiknya diperoleh

Grafiknya Menyerupai tangga dengan jumlah anak tangga tak hingga banyak. Itu sebabnya fungsi cantor dijuluki Tangga setan. Jika kita menaiki anak tangga satu persatu, kita tidak akan pernah samapai ke puncak.

Fungsi Cantor kontinyu [0,1] pada mempunyai turunan nol pada I tetapi tidak terturun pada C

Note: Dari literatur yang saya baca banyak cara mendefinisikan fungsi Cantor, tapi jangan kwatir ksemua cara tersebut ekuivalen:

Kredit gambar: Math.harvard.edu

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis and tagged , , , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s