Pembuktian hasil kali Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah -1

Pada postingan Gradien garis mendatar dan Garis tegak, saya sering mendapat pertanyaan

Mengapa hasil kali Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah -1?

Dalam postingan ini saya akan menjawab pertanyaan diatas.

Diberikan 2 garis p dan q yang saling tegak lurus. Tanpa mengurangi generalitas (Without loss of generality) diasumsikan kedua garis berpotongan dititik awal O(0,0). Karena sebenarnya kedua garis dapat digeser kemana saja tanpa merubah gradient. Andaikan terdapat titik A(x_1,y_1) pada garis p dan titik B(x_2,y_2) pada garis q, seperti ditunjukan pada gambar diatas. Diperoleh gradien garis p adalah y_1/x_1 dan gradien garis q adalah y_2/x_2.

Kita akan membuktikan y_{1}/x_{1}\left(y_{2}/x_{2}\right)=-1

Ketiga titik A, O dan  B membentuk segitiga siku-siku  dengan sudut siku-siku pada sudut O.

Gunakan teorema Pythagoras, diperoeleh

(jarak O ke A)²+ (jarak O ke B)²=(jarak A ke B

\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)+\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}

Silahkan kalian jabarkan sendiri, diperoleh

x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0

y_{2}/x_{2}=-x_{1}/y_{1}

Dari persamaan terakhir dengan mudah diperoleh

y_{1}/x_{1}\cdot\left(y_{2}/x_{2}\right)=y_{1}/x_{1}\cdot\left(-x_{1}/y_{1}\right)=-1

Terbukti  hasil kali Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah -1

QED

Cara Trigonometri

Selain cara diatas, kita juga bisa menggunakan cara trigonometri untuk membuktikan asil kali Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah -1. Kita tahu gradien suatu garis bisa direpresentasikan dalam bentuk \tan\left(\theta\right), dengan \theta adalah sudut antara garis dengan sumbu absis.

Diberikan garis q dengan gradien m=\tan\left(\alpha\right). Jika ada garis p yang tegak lurus dengan  garis q maka gradien garis p adalah \tan\left(\alpha+\pi/2\right).

Gunakana rumus trigonometri berikut

{\displaystyle \tan\left(x+y\right)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}

Diperoleh

 {\displaystyle \tan\left(\alpha+\pi/2\right)=\frac{m+\tan\left(\pi/2\right)}{1-m\tan\left(\pi/2\right)}}

Karena \tan\pi/2 tidak terdefinisi, kita harus melakukan sedikit trik dengan mensubtitusi \tan\left(\pi/2\right)=\sin\left(\pi/2\right)/\cos\left(\pi/2\right). Silahkan kalian lanjutkan sendiri untuk memperoleh

 \tan\left(\alpha+\pi/2\right)=-1/m.

Jelas \tan\left(\alpha\right)\tan\left(\alpha+\pi/2\right)=m\left(-1/m\right)=-1

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis, pembuktian and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

14 Responses to Pembuktian hasil kali Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah -1

  1. sefri says:

    masih bingung di bagian hasil penjabaran dari rumus pytagoras.
    mohon di jelaskan dengan detail.
    Terimaksih.

  2. puterella says:

    Menurut sepengetahuan saya kata guru saya d skolah yg namanya 1/0 itu tak terhingga, yang tak terdefinisi itu jika 0/0….

  3. Gosis says:

    Jika garisnya sejajar dengan sumbu x dan sumbu y apakah hasil kali gradiennya juga -1???

  4. Aria Turns says:

    @ Jay Math:
    Ya dosen mu bener, tak terdefinisi bahasa sederhanaya nggak ada. 1/0 tak terdefinsi karena nilainya emang gak ada

  5. Fajar Halimi says:

    tolong cariin jawaban ini dong
    (2,-7) dan tegak lurus 4x-3y=12
    cariin gradien sama persamaan garisnya !!!

  6. Opan says:

    Singkat, padat, jelas, dan ada mikirnya. 🙂

  7. Rizqi says:

    Yaa memank bgtu…
    Saya ingin bertanya..
    Brp nilai tan 90?
    Tak hingga atau tak terdefinisi..

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s