perpangkatan kompleks 2 in 1

postingan kali ini saya akan membahas 2 hal sekeligus yang keduanya berhubungan dengan perpangkatan kompleks. Dalam himpunan bilangan kompleks \mathbb{C}, perpangkatan didefinsikan sebagai berikut

Definsi: Diberikan z,c\in\mathbb{C} perpangkatan z^c  didefinsikan sebagai berikut

z^{c}=e^{c\ln z}.

Dengan \ln z=\ln r+i\theta, untuk r=\left|z\right| dan \theta=\arg z

Darimana definisi diatas diperoleh, silahkan baca tulisan saya tentang perpangkatan di kompleks.

Sekarang kita lihat soal yang pertama

Kita tahu dalam himpunan bilangan real, satu pangkat berapapun hasilnya adalah satu. Dengan kata lain 1^a=1, untuk semua a\in\mathbb{R}. Nah…bagaimana kalau di himpunan bilangan kompleks. Ambil sebarang z\in\mathbb{C}.

Apakah masih berlaku 1^z=1?

Untuk menjawabnya gunakan saja rumus diatas, diperoleh

1^{z}=e^{z\ln1}=e^{z\cdot0}=e^{0}=1

(Ingat \ln 1=0)

Jadi dalam himpunan bilangan kompleks satu pangkat berapapun hasilnya tetap satu juga.

Soal selanjutnya

Hitung \sqrt[i]{i} ?

Kita ubah dalan bentuk pangakat menjadi i^{1/i}. Kemudian kita rasionalkan bentuk 1/i menjadi \frac{1}{i}\cdot\frac{i}{i}=-i.

Diperoleh

i^{1/i}=i^{-i}.

Selanjutnya gunakan rumus perpangkatan di kompleks:

i^{-i}=e^{i\ln i}

dengan \ln i=\ln1-\frac{\pi}{2}i=-\frac{\pi}{2}i, diperoleh

\sqrt[i]{i}=i^{-i}=e^{i\ln i}=e^{i\left(-\frac{\pi}{2}i\right)}=e^{\pi/2}

Yang nilainya sekitar e^{\pi/2}\approx4,81047738096535165\ldots

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Complex and tagged , , , . Bookmark the permalink.

One Response to perpangkatan kompleks 2 in 1

  1. blog nya sangat2 keren.. sesama matematikawan kiranya berkenan mo berkunjung ke blog kami balik.. hehehe ditunggu

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s