Ruang 2-metrik

Seorang mahasiswa matematika tingkat akhir bertanya mengenai skripsinya ke saya via email. Skripsinya membahas ruang 2-metrik, suatu hal baru saya dengar. Ia memberikan Paper yang membahas tersebut, setelah saya baca ternyata  ruang 2-metrik amat lah menarik. Pada ruang metrik yang biasa kita kenal jarak atau disebut juga metrik membutuhkan 2 titik,  Jarak adalah hubugan 1 titik ke titik yang lain. Sedangkan pada ruang 2-metrik, jarak membutuhkan 3 titik. Jarak adalah hubungan 1 titik ke 2 titik dengan kata lain jarak adalah hubungan titik ke sepasang titik. Untuk lebih jelasnya lihat gambar berikut:

Gambar 1

2 garis pada gambar 1 menggambarkan jarak titik hitam ke sepasang titik merah. Nah.. sekarang kita lihat definisi formal dari ruang 2-metrik.

Ruang 2-Metrik

Definisi: Diberikan himpunan tak kosong X dan \sigma fungsi dari X\times X\times X ke \mathbb{R}, dengan kata lain

\sigma:X^{3}\rightarrow\mathbb{R}

Yang memeuhi aksioma-aksioma sebgai berikut.

(i) Untuk setiap pasang titik yang berbeda a,b maka terdapat titik c\in X sedemikian hingga  \sigma\left(a,b,c\right)\neq0

(ii) \sigma\left(a,b,c\right)=0 jika hanya jika 2 dari 3 titiknya sama.

(iii) \sigma\left(a,b,c\right)=\sigma\left(a,c,b\right)=\sigma\left(b,c,a\right) untuk semua a,b,c\in X

(iV)  \sigma\left(a,b,c\right)\leq\sigma\left(a,b,d\right)+\sigma\left(a,d,c\right)+\sigma\left(d,b,c\right) untuk semua a,b,c,d\in X

Fungsi   \sigma disebut fungsi 2-metrik dan \left(X,\sigma\right) disebut ruang 2-metrik

Aksioma (ii) menunjukan bahwa ruang 2-metrik serupa dengan ruang metrik, pada ruang metrik 2 titik yang sama jaraknya akan nol begitupula pada ruang 2-metrik jika 2 dari 3 titiknya sama maka jraknya akan nol. Aksioma (iii) menunjukkan sifat simetri dari fungsi 2-metrik artinya jika kita mempunyai 3 titik maka jarak setiap titik ke dua titik lainnya akan selalu sama. Aksioma (iV) merupakan pertidaksamaan segitiga pada ruang 2-metrik dan menunjukkan bahwa fungsi 2-metrik adalah fungsi non-negatif.

Bola pada ruang 2-metrik.

Sekarang kita lihat bagaimana bola pada ruang 2-metrik didefinisikan.

Definsi: Diberikan ruang 2-matriks   \left(X,\sigma\right), pasangan titik a,b\in X dan 0<r.

Himpunan bagian

B_{r}\left(a,b\right)=\left\{ c\in X;\sigma\left(a,b,c\right)<r\right\}

dari X dikatakan 2-bola dengan pusat di a dan b dengan jari-jari r

Berdasarkan definsi ruang metrik jelas B_{r}\left(a,b\right) sama dengan B_{r}\left(b,a\right).

 Jadi pada ruang 2-metrik, bola membutuhkan 2 titik pusat, untuk lebih jelasnya lihat gamabar berikut

Gambar 2

Pada Gambar 2 menujukkan 2-bola berpusat pada 2 titik biru dan berjari-jari r.

Ruang 2-metrik pada himpunan bilangan real

Sekarang saya akan memberikan contoh fungsi 2-metrik pada himpunan bilangan real.

Diberikan himpunan bilangan real \mathbb{R} dan fungsi f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R} yang didefinisikan sebagai berikut

f\left(a,b,c\right)=\begin{cases}    \left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right| & \mathtt{jika}\, a\neq b\neq c\\    0 & \mathtt{jika\,2\,dari\,3\, bilangan\, bernilai\, sama}\end{cases}

Silahkan kalian buktikan sendri f merupakan fungsi 2-metrik. Jadi \left(\mathbb{R},\sigma\right) merupakan ruang 2-metriks.

Selanjutnya saya akan memberikan 2 cotoh soal senderhana untuk kalian

1. Hitung jarak dari 5 ke (0,1)!

f\left(0,1,5\right)=6

2. Diberikan pasangan (0,1) dan jari-jari 5. Hitung B_{5}\left(0,1\right)!

5>\left|0\right|+\left|1\right|+\left|c\right|

4>\left|c\right|

diperoleh -4<B_{5}\left(0,1\right)<4

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

37 Responses to Ruang 2-metrik

  1. marthin says:

    defenisi titik pusat pada 2-bola apa dong mas?

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s