Bilangan Kongruen

Bilangan Kongruen

Meskipun mengunakan nama Kongkruen, bilangan kongkruen tidak ada hubungan (secara langsung) dengan relasi kongruen modulo

Definsi: Suatu bilangan bulat positif n dikatakan bilangan kongruen jika merupakan nilai dari luas suatu segitiga siku-siku dengan panjang ketiga sisinya merupakan bilangan rasional, dengan kata lain terdapata,b,c\in\mathbb{Q} sedemikian hingga a^{2}+b^{2}=c^{2} dan \frac{1}{2}ab=n

Contoh:

  • 6 adalah kongruen dengan a=3, b=4 dan c=5
  • 5 adalah kongruen dengan a=3/2, b=20/3 dan c=41/6
  • 30 adalah kongruen dengan a=5, b=12 dan c=13

Nah…yang jadi pertanyaan adalah

Bagaimana mengetahui suatu bilangan bulat positif n adalah bilangan kongruen atau bukan?

Pertanyaan diatas dikenal dengan nama Masalah Bilangan Kongruen. Konon masalah tersebut sudah temuat dalam manuskrip arab yang ditulis oleh Matematikawan Persia Al-Karaji pada tahun 972. Akan tetapi baru bisa dijawab berabad-abad kemudian, oleh Teorema Tunnell pada tahun 1983.

Teorema Tunnell: Diberikan bilangan bulat positif n dan didefinisikan persamaan-persamaan berikut

A_{n}=\#\left\{ x,y,z\in\mathbb{Z}\mid n=2x^{2}+y^{2}+32z^{2}\right\}

B_{n}=\#\left\{ x,y,z\in\mathbb{Z}\mid n=2x^{2}+y^{2}+8z^{2}\right\}

C_{n}=\#\left\{ x,y,z\in\mathbb{Z}\mid n=8x^{2}+2y^{2}+64z^{2}\right\}

D_{n}=\#\left\{ x,y,z\in\mathbb{Z}\mid n=8x^{2}+2y^{2}+16z^{2}\right\}

JIka n adalah bilangan kongruen maka belaku

A_{n}=B_{n}/2 untuk n ganjil

C_{n}=D_{n}/2 untuk n genap.

Sebaliknya andaikan Dugaan Birch Swinnerton Dyer (DBSD) itu benar maka suatu n yang memenuhi persamaan-persamaan diatas adalah bilangan Kongruen.

Teorema diatas mengasumsikan  DBSD benar, andaikan kelak DBSD terbukti salah maka Teorema Tunnell hanya berlaku setengah / separuh. Andaikan DBSD salah maka kita hanya bisa mengetahui bilangan kongruen pastilah memenuhi persamaan-persamaan pada Teorema Tunnel tetapi jika ada suatu n yang memenuhi persamaan-persamaan pada Teorema Tunnel, kita tidak bisa meyimpulkan n adalah bilangan kongruen.

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Teori Bilangan and tagged , , , . Bookmark the permalink.

4 Responses to Bilangan Kongruen

  1. dwi_j says:

    bisa gak minta materi yang bagus untuk dijadikan seminar untuk memenuhi kuliah seminar matematika saya??

  2. Homotopy says:

    Loe dapet dari maan tet?

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s