Quasigrup dan Loop

Quasigrup

Kita tahu bahwa himpunan bilangan bulat Z yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan merupakan grup. Bagaimana jika diganti dengan operasi pengurangan.

Apakah (Z,-) merupakan grup?

Untuk menjawabnya tentunya kita harus mengecek (Z,-) memenuhi aksioma-aksioma dari grup, yaitu:

  • Operasi binernya bersifat asosiatif
  • Mempunyai elemen identitas
  • Setiap Elemennya mempunyai invers.

Pertama-tama kita lihat apakah operasi pengurangan itu asosiatif. Tidak, kita ambil counterexample nya

4-(2-2)=4 disisi lain  (4-2)-2=0

Karena operasi pengurang tidak asosiatif maka (Z,-) bukanlah Grup. Meskipun begitu kita akan tetap cek apakah  (Z,-) mempunyai elemen identitas dan invers.

Jika (Z,-) memepunyai elemen identitas e maka untuk sebarang bilangan bulat a berlaku

e-a=a-e=a

Mmm…kayaknya persamaan diatas hanya berlaku jika a=e=0. Itu berarti (Z,-) tidak mempunyai elemen identitas dan menyebabkan elemen-elemen di  (Z,-) tidak mempunyai invers.

Struktur  (Z,-) bukan juga merupakan semigrup karena aksioma dari semigrup adalah sifat asosiatif

Jika bukan Grup bukan pula Semigrup lalu  (Z,-) itu apa?

Struktur dari  (Z,-) dinamakan Quasigrup

Definisi:  Himpuan G yang dilengkapi dengan operasi biner dikatakan Quasigrup jika berlaku aksioma sebagai berikut:

Untuk sebarang a dan b terdapat dengan tunggal p dan q sedemikian hingga pa=b dan aq=b.

Elemen p dikatakan pembagi kiri a/b (a dibagi b) sedangkan elemen q dikatakan pembagi kanan a\b (a membagi b). Jadi Quasigrup merupakan generaliasi dari grup tanpa asosiatif tanpa elemen identitas, yang mana “pembagian” selalu bekerja didalamnya.

Nah..sekarang kita buktikan (Z,-) merupakan quasigrup.

Ambil sebarang a dan b pada Z, jika diambil p=b-(-a) dan q=a-b diperoleh p-a=b dan a-q=b.

QED

Loop

Definisi: Loop adalah quasigrup yang mempunyai elemen identitas.

Karena elemen identitas itu tunggal maka elemen-elemen dari loop mempunyai dengan tunggal invers kiri dan kanan, meskipun invers kiri dan kanannya tidak selalu sama.

 Bentuk khusus dari loop adalah grup

Definisi: Grup adalah loop yang mempunyai sifat asositif

Dengan kata lain semua grup adalah loop.

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak and tagged , , , . Bookmark the permalink.

4 Responses to Quasigrup dan Loop

  1. bisa g ini diambil judul skripsi… tpi aplikasix dimna?

  2. zakimath says:

    Quasigroup punya aplikasi di kriptografi lho tet, saya dulu pernah baca-baca sedikit tentang itu…
    Bisa dibaca di http://www.math.md/files/csjm/v17-n2/v17-n2-(pp-193-228).pdf

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s