Grup Fundamental

Konsep grup fundamental adalah salah satu konsep paling penting dalam topologi. Jika kita menganalogikan ruang topologi sebagai permukaan (surface) maka grup fundamental berjuan untuk mengetahui karakteristik dari permukaan tersebut dan melihat apakah 2 buah permukaan mempunyai karakter yang sama atau tidak

Bayangkan kalian mempunyai sebuah permukaan, permukaan apa? Bebas terserah kalian bissa permukaan bola, permukaan gelas, permukaan batu dan lain sebagainya. Selanjutnya pilih sebuah titik x_0 pada permukaan tersebut, tentunya kalin bisa menggambarkan putaran (loop) yang melalui titik x_0,  apa itu putaran? Yaitu sebuah lintasan yang berawal dan berkahir di titik x_0. Nah… karena titik x_0 merupakan awal dan akhir dari sebuah putaran maka  x_0 disebut BasePoint.

Secara formal putaran didefiniskan sebagai berikut:

Definisi: Diberikan ruang topologi X dan x_{0}\in X, sebuah fungsi kontinyu

f:\left[0,1\right]\rightarrow X

dengan sifat f\left(0\right)=x_{0}=f\left(1\right) disebut putaran dengan basepoint x_{0}\in X

Jadi putaran itu adalah sebuah fungsi kontinyu yang berawal dan berakhir pada titik yang sama.  Dua buah putaran f dan g dikatakan ekuivalen atau homotopic dinotasikan f\simeq g  jika putaran f bisa diubah bentuknya ( dengan cara: direnggangkan, di tarik, diperbesar, atau diperkecil) ke putaran g tanpa memotongnya, begitupula sebaliknya. Seacara formal 2 buah fungsi dikatakan homotopic jika terdapat fungsi kontinyu

h:\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\rightarrow X

dengan sifat untuk semua 0\leq t\leq1 berlaku

  • h\left(t,0\right)=f\left(t\right)
  • h\left(t,1\right)=g\left(t\right)
  • h\left(0,t\right)=x_{0}=h\left(1,t\right)

Fungsi h ini disebut homotopy dari f ke g, ternyata homotopy merupakan relasi ekuivalensi. Jadi terbentuklah kelas-kelas ekuivalensi atau disebut juga kelas-kelas homotopy, dinotasikan \left[f\right] yaitu kelas yang berisikan semua putaran yang homotopic ke f.

Selanjutnya, ternyata 2 buah putran f dan g bisa dikomposisikan, pengkomposisian 2 buah putaran dinotasikan f\cdot g, dengan cara melintasi f baru kemudian melintasi g, secara formal komposisi 2 buah putaran didefinisikan sebagai berikut:

f\cdot g(t) = \begin{cases}f(2t) & 0\leq t \leq \frac{1}{2} \\ g(2t-1) & \frac{1}{2} \leq t \leq 1.\end{cases}

Komposisi juga berlaku pada kelas-kelas homotopic, jika f_{0}\simeq f_{1} dan g_{0}\simeq g_{1} berlaku f_{0}\cdot g_{0}\simeq f_{1}\cdot g_{1}. Jadi komposisi 2 buah kelas homotopy akan menghasilkan kelas homotopy pula \left[f\right]\cdot\left[g\right]=\left[f\cdot g\right].

Definisi: Dinotasikan \pi\left(X,x_{0}\right) himpuan semua kelas homotopy dari putran yang melalui basepoint x_0 pada suatu ruang topologi X maka \pi\left(X,x_{0}\right) merupakan grup bernama grup fundamental dengan operasi biner \left[f\right]\cdot\left[g\right]=\left[f\cdot g\right].

Seperti yang sudah saya katakan bahwa putaran adalah fungsi dan yang namanya komposisi fungsi bersifat asosiatif maka jelas operasi biner dari  \pi\left(X,x_{0}\right) bersifat asosiatif.

Selanjutnya apa elemen identitas dari Grup fundamental?

Elemen identitasnya adalah fungsi konstan c\left(t\right)=x_{0} untuk semua t\in\left[0,1\right]. Dengan kata lain elemen identitas dari grup fundamental adala basepoint itu sendiri. Jadi basepoint bisa kita anggap sebagai putaran. Sedangkan  invers dari putaran f adalah putran serupa yang arah putrannya berlawanan f^{-1}\left(t\right)=f\left(1-t\right)

Contoh

Untuk contoh kita lihat permukaan bola (Spare) dan permukaan donat yang dinamakan Torus. Pada permukaan bola, jelas bahwa apaapun putaran yang melalui suatu basepoint bisa disusutkan menjadi sebuah titik yaitu basepoint ity sendiri. Itu berarti  permukaan bola hanya mempunyai 1 kelas homotopy, dengan kata lain grup fundamental dari permukaan bola adalah trivial hanya mempunyai satu elemen.

Sedangkan pada torus tidak semua putaran dapat disusutkan menjadi sebuah titik Karenas suatu putaran bisa memutari lubang donat atau memutari badan donat.  Secara umum putaran pada torus bisa memutari lubang sebanyak n kali dan memutari badan torus sebanyak m kali. Jadi 2 buah putaran dikatakan homotopic jika memutari lubang dalam jumlah yang sama dan juga memutari badan torus dalam jumlah yang sama pula. Dapat dismpulakan grup fundamental dari torus isomorpic ke grup pasangan terurut bilangan bulat \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak, Topologi and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

One Response to Grup Fundamental

  1. Homotopy says:

    Lebih lanjut bahwa grup fundamental dpat dipadnag sebagai fungtor dari kategori ruang topologi bersama dengan pemetaan kontinu ke kategori dari grup bersaa dengan homomorfisma. Konstrukis fungtorila yersebut dapat diihat di :
    http://files.math.web.id/jurnal/aljabar/denik/DENIK-HOMOTOPI.pdf

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s