Pembuktian setiap ruang vektor mempunyai Basis

Lemma Zorn adalah Lemma yang sangat penting dan berguna bagi Matematika karena banyak sekali  Teorema yang bisak kita buktikan melalui Lemma Zorn

Kutipan dari postingan Lemma Zorn dan pembuktian keberadaan tuhan. Kali ini saya akan membahas salah satu aplikasi dari Lemma Zorn. Oya  sebelumnya, sedikit mengingatkan kalian, siapa tahu kalian lupa, yang dimaksud dengan Lemma Zorn adalah

Lemma Zorn: Jika (S,\leq) adalah suatu poset dan setiap rantai (himpunan bagian dari S yang terurut total) didalamnya mempunyai batas atas maka (S,\leq) mempunyai elemen maksimal.

Nah..dengan adanya Lemma Zorn, kita mampu membuktikan bahwa setiap ruang vektor pastilah mempunyai basis

Teorema: Setiap ruang vektor mempunyai basis

Bukti: Diberikan sebarang ruang vektor V dan koleksi L yang berisikan semua subhimpunan dari V yang bebas linier

L=\left\{ S\subset V:\, S\,\textrm{adalah himpunan bebas Linier}\right\}

Jadi L beranggotakan himpunan-himpunan bagian dari V yang bebas linier. Ternyata L ini merupakan poset dengan relasi urutan \subseteq himpunan inklusi. Karena merupakan poset maka terdapat rantai-rantai didalam L. Ambil C sebarang rantai di L, dikontruksikan himpunan

U=\cup_{X\in C}X

maka U merupakan batas atas dari C? Mengapa? Karena \subseteq merupakan realasi urutan didalam L, itu berarti untuk semua  X\in C berlaku X\subseteq U.

Kita telah menunjukan bahwa sebarang rantai di L mempunyai batas atas, berdasarkan lemma zorn maka L mempunyai elemen maksimal M.

Selanjutnya kita tunjukkan bahwa M merupakan basis. Karena M\in L itu berarti M merupakan himpunan bebas linier. Kita tinggal menujukkan M membangun ruang vektor V.

Andaikan ada vektor u\in V yang tidak dibangun oleh M, dengan kata lain u bukan kombinasi linier dari vektor-vektor didalam M maka berakibat M\cup\left\{ u\right\} merupakan himpunan bebas linier. Itu berarti M\subset M\cup\left\{ u\right\} kontradiksi dengan kemaksimalan M. Terbukti M bebas linier dan membangun ruang vektor V, dengan kata lain M adalah basis.

QED

Dari pembuktian diatas terlihat bahwa Basis adalah elemen maksimal dari L. Apakah elemen maksimal itu tunggal? Tidak, elemen maksimal tidak harus tunggal. Bisa saja suatu L mempunyai banyak elemen maksimal (Baca:basis) sebut saja M_{1},M_{2}\ldots M_{n}. akan tetapi kesemuanya mempunyai kardinaliatas (banyaknya elemen) yang sama

 

\left|M_{1}\right|=\left|M_{2}\right|=\ldots=\left|M_{n}\right|

Kenapa? Karena jika kardinalitasnya berbeda maka banyaknya vektor yang dibangun juga berbeda. Nah.. Kesamaan kardinalitas inilah yang disebut dengan dimensi.

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com **
Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in pembuktian and tagged , , , . Bookmark the permalink.

15 Responses to Pembuktian setiap ruang vektor mempunyai Basis

  1. saidah says:

    gimna cra buktikan teorema ini : sebarang himpunan vektor2 yang bebas linear di V termuat didalam basis untuk V. yaitu, sebarang himpunan yg bebas linier dapat diperluas menjadi basis untuk V. trmksih

  2. saidah says:

    gimna pmbuktian teorema ini :sebarang himpunan pembangun untuk V memuat basis untuk V. yaitu, sebarang himpunan pembangun dapat direduksi menjadi basis untuk V. buktikan.

  3. iful afri says:

    bisa nda minta bantu kerjakan tugasku soalnya seperti ini buktikan bahwa himpunan semua kombinasi linear sembarang himpunan vektor-vektor yang tidak kosong dari v adalah suatu ruang bagian dari v

  4. iamn00b says:

    bagaimana dengan ruang vektor yang hanya berisi vektor 0 ?

    • Aria Turns says:

      dengan sendirinya vektor0 adalah basis

      • iamn00b says:

        dosen saya menyatakan vektor 0 bukanlah basis karena tidak membangun dengan konstanta yang unik :
        0 = x0
        karena x dapat menjadi angka apa saja (tidak unik) maka vektor 0 bukanlah basis dari ruang vektor 0.
        Sebenarnya saya sendiri masih bingung dan memang baru dalam sunia aljabar linear, jadi mohon penjelasannya 🙂

        • Aria Turns says:

          Oya saya salah, dosenmu yang benar. Okey jadi menjawab pertanyaanmu Bgaimana dengan ruang vektor yang hanya berisi vektor 0 ?
          Ruang vektor yang hanya berisikan vektor 0 disebur ruang vektor trivial. Nah…ruang vektor trivial ini basisnya adalah himpunan kosng, itu berarti dimensinya adalah nol

  5. good……….saya tertarik dengan apa yang dibahas……..bwt mungkin kalo boleh saran……..dishooting like a video movie sembari masnya menjelaskan pasti lebih menarik lage……..heheheh…..keep move on with Realistic Mathematics Education………OFU

  6. Homotopy says:

    Oh begitu ya!!!!! bisa ditulis gak dlaam bentuk word terus dikirm ke email saya : denikagustito@yahoo.co.id

  7. Herry PS says:

    Hallo Homotopy, pertama pembuktian eksistensi basis menggunakan Lema Zorn berlaku utk sembarang ruang vektor tak nol (bisa berdimensi hingga ataupun tak hingga). Kedua, maksud saya keduanya ekuivalen (yang satu berakibat yang lain) adalah melalui axiom of choice. Kalau tertarik dapat dilihat di buku “Equivalents of the Axiom of Choice” karangan Rubin and Rubin, dan khususnya bukti teorema eksistensi basis berakibat axiom of choice dapat dilihat misalnya di paper “Existence of bases implies the axiom of choice” by Andreas Blass.

  8. Homotopy says:

    Dear PS.

    Eksistensi basis dari ruang vektor tidak bisa digunakan untuk menujukkan bukti dari Lema Zorn, tetapi justru Lema Zorn digunakan untuk menunjukan eksistensi basis dari suatu ruang vektor tak nol yang berdminesi hingga. Saya kira begitu heeeee

  9. Herry PS says:

    Lema Zorn memang banyak penerapannya… btw teorema eksistensi basis juga dapat digunakan untuk membuktikan Lema Zorn, jadi keduanya ekuivalen.

    • saidah says:

      gimna cra buktikan teorema ini : sebarang himpunan vektor2 yang bebas linear di V termuat didalam basis untuk V. yaitu, sebarang himpunan yg bebas linier dapat diperluas menjadi basis untuk V. trmksih

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s