Pembuktian dengan kontrapositif

Saya pernah membahas pembuktian dengan kontradiksi kali ini saya  kembali membahas salah satu metode pembuktian yaitu: Pembuktian dengan kontrapositif (proof by contrapostive). Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi

Jika P maka Q

P\Rightarrow Q

Kontrapositif dari pernyataan implikasi P\Rightarrow Q adalah \sim Q\Rightarrow\sim P. Dengan kata lain kontrapositif adalah menegasikan P dan Q lalu membalik arah panahnya. Dalam teori logika, Pernyataan implikasi dan kontraposisinya mempunyai nilai kebenaran yang sama. Coba kalian perhatikan tabel kebenaran berikut:

Dari tabel terlihat pernyataan P\Rightarrow Q dan \sim Q\Rightarrow\sim P adalah cara berbeda yang menunjukan suatu hal yang sama. Dengan membuktikan   \sim Q\Rightarrow\sim P, kita telah membuktikan P\Rightarrow Q begitu pula sebaliknya.

Jadi untuk membuktikan pernyataan P\Rightarrow Q dengan cara kontrapositif, pertama-tama kita andaikan ~Q lalu lakukan langkah-langkah matematis untuk mendapatkan ~P. Dengan kata lain pembuktian dengan kontrapostif dari perrnyataan P\Rightarrow Q merupakan pembuktian lansung (direct proof) dari pernyataan \sim Q\Rightarrow\sim P. Secara singkat pembuktian dengan kontrapositif dapat dirangkum sebgai berikut

Pernyataan: Jika P maka Q

Bukti: Andaikan ~Q

diproleh  ~p

Untuk lebih jelasnya, kita lihat contoh-contoh berikut

Contoh 1: Diberikan x\in\mathbb{Z}, jika 7x+9 adalah genap mak x ganjil

Jawab: Andai x tidak ganjil, dengan kata x genap, itu berati x=2a untuk suatu bilangan bulat a. Diperoleh

7(2a)+9=14a+9=2(2a+4)+1

Subtitusi b=2a+4

diperoleh 7x+9=2b+1

Jelas 2b+1 adalah ganjil.  Itu berarti 7x+9 adalah genap, tidak ganjil

Contoh 2: Diberikan  x,y\in\mathbb{R}, jika y^{3}+yx^{2}\leq x^{3}+xy^{2} maka y\leq x

Jawab: Apa negasi dari y\leq x? y>x.

Itu berati y-x>0, kalikan kedua sisi dari y-x>0 dengan x^2+y^2 diperoleh:

\left(y-x\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)>0

yx^{2}+y^{3}-x^{3}-xy^{2}>0

yx^{2}+y^{3}>x^{3}+xy^{2}

Diperoleh yx^{2}+y^{3}>x^{2}+xy^{2} yang merupakan negasi dari y^{3}+yx^{2}\leq x^{3}+xy^{2}

Contoh 3: Diberikan x,y\in\mathbb{Z}, jika 5\nmid xy maka 5\nmid x dan 5\nmid y.

Jawab: Apa negasi dari 5\nmid x dan 5\nmid y? Menurut hukum DeMorgan negasinya adalah 5|x atau 5|y

Kasus 1: Andaikan 5|x maka x=5a, untuk suatu bilangan bulat a, Diperoleh xy=5ay, itu berarti 5|xy

Kasus 2: Andaikan 5|y maka y=5a, untuk suatu bilangan bulat a, Diperoleh xy=5ax, itu berarti 5|xy

Dari 2 kasus diatas menunjukkan 5|xy, yang merupakan negasi dari 5\nmid xy

Untuk membuktikan Jika P maka Q dengan metode kontrapositif dibutuhkan kemampuan menegasikan pernyataan yang cukup mumpuni. Kerana kalu kemampuan menegasikan kita lemah maka pembuktian dengan kontrapositif akan berantakan

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com **
Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in pembuktian and tagged , , , . Bookmark the permalink.

6 Responses to Pembuktian dengan kontrapositif

  1. Budi Santoso says:

    terimakasih atas referensinya, Pak.

  2. sigum says:

    maaf rasanya ada yang keliru,,mungkin salah ketik,,,rasanya lebih baik kalo di edit lagi di bagian yang negasi Q……….negasi Q(kalo ga salah harusnya negasi P)…

  3. Zoel says:

    Ah…….. terlalu mudah postingan matematikanya. Gitu-gitu aja. Gwa sekarang mau belajar yang tingkat berat (advance). Kalo gini mah cemen!!!!! Gwa sekarang mo mendalami bagaimana supaya gwa bisa nyupir bajai cuma tangan satu dan kaki satu, dengan posisi kepala terbalik. Kayaknya itu mah lebih sulit dibanding matematika!!!!! Any way penulis blog ini orangnya pasti pintar cuma gwa lagi bosan aja ngasi komentar-komentar standar. Yang sedikit laen dari pada laen kan lumayan nyentrik. Gwa gak bermaksud menghina blog ini. Gwa lagi bosan aja sama matematika.

    Pokoknya gwa mau nyupir bajai dalam posisi terbalik. Kepala dibawah dan kaki di atas. Pake tangan satu lagi. Gwa tantang lo- lo semua. Bisa nggak lo…ha? Jangan hanya ngomong angka, teorema dan rumus-rumus doank. Buktikan kalo lo bisa. Kalo nggak bisa gwa tampar lo satu-satu. Ayo …..wani ora kowe!!!

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s