pembuktian g(x+y)=g(x)g(y) kontinyu

Dapat Email dari seseorang yang isinya:

salam kenal,

saya salah satu penikmat blog nya mas aria. saya mendapat banyak pengetahuan matematika.

saya tertarik dengan matematika dan ingin mengajarkan kepada anak saya nanti. dalam kesempatan ini saya mohon bantuan mas aria untuk menyelesaikan problem ini. saya sudah coba, tapi masih belum menjawab.

problem:

Misalkan g: R–>R, g tidak sama dengan Nol.  dan memenuhi : g(x+y) = g(x) g(y) . Untuk semua x,y diR. Tunjukkan bahwa bila g kontinu di x = 0, maka g kontinu di R

 

dibawah ini penyelesaian saya:

diketahui

g(x+y) = g(x) g(y), untuk  semua x,y di R

untuk x = 0, g(0+y) = g(0) g(y)

g(y) = g(0) g(y),

g(y)/g(y) = g(0) sehingga g(0) = 1

jika g adalah kontinu di x = 0, maka g(0+y) = g(y) adalah kontinu di semua titik y. Selama y dapat diuraikan kedalam bentuk : y = a + b, dimana a,badalah bilangan real. Maka  

g(y) = g(a+b) = g(a) g(b) sehingga g kontinu di setiap titik.

Untuk g(0) = 1, pertambahan sejauh h , maka

g(a+h) – g(a) = g(a) g(h) – g(a),

= g(a) {g(h) – 1}

= g(a) {g(h) – g(0)},

sehingga fungsi g kontinu setiap titik yang bertambah sejauh h.

mohon bantuan mas aria mengkoreksi kesalahan dan bagaimana seharusnya?

Mmm.. menurut saya penyelesainnya kurang tepat. Langkah pertama menunjukan g(0)=1 sudah tepat tepat tapi langkah selanjutnya yang menunjukan g(x) kontinyu di semua bilangan real, tidak tepat.
Nah.. sekarang kita lihat kembali apa itu fungsi kontinyu

Definsi: Sutu fungsi dikatakan kontinyu pada jika f\left(a\right)  terdefinsi dan \lim_{x\rightarrow a}f\left(a\right)=f\left(a\right)

Berdasarkan definsi dari fungsi g, diketahui untuk sebarang a di R pastilah g(a) terdefinsi. Itu berarti untuk menunjukan g kontinyu di R, kita tinggal menunjukan

\lim_{x\rightarrow a}g\left(a\right)=g\left(a\right)

Kita akan melakukan sedikit trik, ambil h=x-a maka x=a+h dan nilai h akan mendekati nol jika nilai x mendekati a

\lim_{x\rightarrow a}g\left(a\right)=\lim_{h\rightarrow0}g\left(a+h\right)=\lim_{h\rightarrow0}g\left(a\right)g\left(h\right)=\lim_{h\rightarrow0}g\left(a\right)=g\left(a\right)

Terbukti g kontinyu di R


 

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**


Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis and tagged , , , . Bookmark the permalink.

14 Responses to pembuktian g(x+y)=g(x)g(y) kontinyu

  1. Heri says:

    Buktikan bahwa 1/2,3/4,5/6….2007/2008 lebih kecil 1/2009

  2. Heri says:

    Jika 0,201020102010….= x/y, dengan x,y bilangan asli, maka nilai terkecil dari x y adalah…

  3. Heri says:

    Bilangan 23a23b habis dibagi 8 dan 9. Tentukan nilai dari a b

  4. Heri says:

    Tentukan nilai y =x 13 x 23 x 33 … x 1003!

  5. Heri says:

    Tentukan nilai y =x 13 x 23 x 33 … x 1003

  6. Heri says:

    Tentukan nilai y =x 13 x 23 x 33 ….. x 1003

  7. yunidar says:

    assalam, mas.. terima kasih postingannya benar-benar membantu, I love Math, eh ya langganan yakkk

  8. Jayanti says:

    Mas..
    mengenai statistik ada gak?

  9. Anwar says:

    penggunaan g kontinu di 0 tidak terlihat pada pembuktian di atas. Mungkin perlu ditulis detailnya spy jelas
    lim_{h \rightarrow 0} g \left (a \right) g \left (h \right) =lim_{h \rightarrow 0} g \left (a \right) lim_{h \rightarrow 0} g \left (h \right)= lim_{h \rightarrow 0} g \left (a \right) . g \left (0 \right)=g \left (a \right)

  10. Herry PS says:

    Secara umum di ruang topologi kekontinuan fungsi didefinisikan di sebuah anggota a dari domain f. Titik a ini bisa titik limit atau bukan (anggota yang bukan titik limit namanya titik terasing). Sementara itu, limit fungsi f didefinisikan untuk sebuah titik limit c. Titik limit c ini bisa merupakan anggota domain fungsi atau bukan. Apabila c merupakan anggota domain fungsi f dan kodomain dari f adalah ruang Haussdorff maka syarat perlu dan cukup f kontinu di c adalah limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c).

    Untuk kasus2 khusus seperti di dalam ruang metrik ataupun di himpunan bilangan real R, tentu saja ini berlaku dengan realisasi konsep yang sesuai.

  11. Eran says:

    Mas,sedikit menambahkan (atau lebih tepat’y bertanya)..
    Bukankah jika f kontinu di c,bukan berarti f punya limit di c?karena di beberapa buku,definisi kekontinuan tidak mengharuskan c sebagai cluster point (titik limit),sedangkan pd definisi limit,c haruslh titik limit..

    • Aria Turns says:

      Kalau kita pakai kacamata analisis real haruslah titik c adalah titik limit
      Tapi jika kita pakai kacamata topologi maka c tidak harus titik limit yang penting terdapat himpunan terbuka V yang memmuat c sedemikian hingga f(V) terbuka. Apakah ada atau tidak titik lain didalam V yang berbeda dari c, itu tidak jadi soal

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s