euclidean topologi

Saya kembali membahas Topologi.  Kali ini saya mau membahas topologi pada himpunan bilangan real \mathbb{R}, yang disebut dengan euclidean topologi.

Definisi: Himpunan bagian S dari \mathbb{R} dikatakan terbuka dalam euclidean topologi pada \mathbb{R} jika memenuhi sifat

(*) untuk setiap x\in S terdapat a,b\in\mathbb{R}, dengan a<b sedemikian hingga x\in\left(a,b\right)\subseteq S.

Selanjut akan kita tunjukan Euclidean Topologi \tau adalah topologi, dengan kata lain memenuhi aksioma-aksioma topologi. Sedikit mengingatkan aksioma-aksioma topologi adalah:

Definisi: Diberikan humpunan tak-kosong X, suatu koleksi \tau yang berisikan himpunan-himpunan bagian dari X dikatakan topologi pada X, jika memenuhi

(i) X dan himpunan kosong \emptyset termuat didalam \tau

(ii) Gabungan (berhingga ataupun tak hingga) dari himpunan-himpunan di \tau termuat di \tau pula

(iii) Irisan berhingga dari himpunan-himpunan di \tau berada di \tau pula

Pasangan \left(X,\tau\right) dikatakan ruang topologi

Pertama-tama kita tunjukan \mathbb{R}\in\tau, ambil sebarang x\in\mathbb{R} lalu jika kita ambil a=x-1 dan b=x+1 maka x\in\left(a,b\right)\subseteq\mathbb{R}. Terbukti \mathbb{R} memenuhi sifat (*).Kedua, Jelas \emptyset\in\tau kerana \emptyset pastilah termuat disebarang \left(a,b\right).

Selanjutnya dibentuk  \cup_{i\in I}A_{i} gabungan elemen-elemen di \tau. Akan dibuktikan \cup_{i\in I}A_{i} memiiliki sifat (*). Ambil sebarang x\in\cup_{i\in I}A_{i}, itu berati x\in A_{k} untuk suatu A_{k}\in\tau. Karena A_{k}\in\tau maka terdapatt a,b\in\mathbb{R}, dengan a<b sedemikian hingga x\in\left(a,b\right)\subseteq A_{k}. Karena A_{k}\subseteq\cup_{i\in I}A_{i} Itu berati x\in\left(a,b\right)\subseteq\cup_{i\in I}A_{i}.

Terakhir, ambil A_{1},A_{2}\in\tau, akan dibuktikan  A_{1}\cap A_{2}\in\tau. Misakan y\in A_{1}\cap A_{2}, itu berarti y\in\left(a,b\right)\subseteq A_{1} dan y\in\left(c,d\right)\subseteq A_{2}. Ambil e bilangan yang lebih besar dari a dan b serta f bilangan yang lebih kecil dari b dan d. Dengan mudah diketahui e<y<f, diperoleh y\in\left(e,f\right). Karena \left(e,f\right)\subseteq\left(a,b\right)\subseteq A_{1} dan \left(e,f\right)\subseteq\left(c,d\right)\subseteq A_{2} maka y\in\left(e,f\right)\subseteq A_{1}\cap A_{2}.

Terbukti Euclidean Topologi merupakan topologi.

Dari apa yang telah kita bahas, dengan mudah kita ketahui setiap interval terbuka pada \mathbb{R} merupakan himpunan terbuka tetapi belum tentu sebaliknya belum tentu himpunan terbuka merukan interval. Contoh: \left(3,8\right)\cup\left(12,19\right) merupakan himpunan terbuka tetapi bukan interval.

Okey, selanjutnya kita bahas himpunan tertutup pada Euclidean Topologi.

Himpunan tertutup pada Euclidean Topologi

  • Untuk sebarang a,b\in\mathbb{R}, dengan a<b, interval tertutup \left[a,b\right] merupakan himpunan tertutup

Bukti: Untuk membuktikan suatu himpunan adalah tertutup adalah dengan membuktikan komplement-nya terbuka. Komplement dari \left[a,b\right] adalah \left(-\infty,a\right)\cup\left(b,\infty\right) gabungan 2 himpunan terbuka adalah terbuka.

  • Setiap singgleton \left\{ a\right\} merupakan himpunan tertutup.

Bukti: komplement dari singgleton \left\{ a\right\} adalah gabungan 2 himpuan terbuka \left(-\infty,a\right)\cup\left(a,\infty\right).

  • Himpunan bilangan bulat \mathbb{Z} merupakan himpunan tertutup.

Bukti: Komplomen dari \mathbb{Z} adalah \cup_{n=-\infty}^{\infty}\left(n,n+1\right), gabungan semua himpunan \left(n,n+1\right)  terbuka

  • Himpuan bilangan rasional \mathbb{Q} tidak terbuka atau tidak tertutup.

Bukti: Untuk membuktikannya, kita menggunakan fakta didalam himpunan bilangan real bahwa untu sebarang a,b\in\mathbb{R}, dengan a<b terdapat bilangan rasional q dan bilangan irasional p sedemikian hingga a<q<b dan a<p<b.

Untuk membuktikan \mathbb{Q} terbuka, kita harus membuktikan \mathbb{Q} tidak mempunyai sifat (*).  Andaikan \left(a,b\right)\subseteq\mathbb{Q} maka terdapat bilangan irsional c sedemikian hingga c\in\left(a,b\right)\subseteq\mathbb{Q} padahal diketahui c\notin\mathbb{Q}. Kontradiksi

Andaikan \mathbb{Q} tertutup maka komplement dari \mathbb{Q} yaitu himpunan bilangan irasional I terbuka, dengan kata lain \left(a,b\right)\subseteq I. Terdapat bilangan rasional q sedemikian hingga q\in\left(a,b\right)\subseteq I padahal diketahui q\notin I. Kontradiksi.

***

Didalam Euclidean Topologi hanya \mathbb{R} dan \emptyset yang merupakan himpunan terbuka-tertutup (Clopen set)

 

 

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com **

 



Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Topologi and tagged , , , . Bookmark the permalink.

One Response to euclidean topologi

  1. mampir saja says:

    tolong di pos tntg barisan dan barisan konvergen dalam topologi.. saya bingung mencari materi itu…thx

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s