nZ dan mZ tidak isomorphic

Ini lanjutan postingan saya kemarin. Kemarin saya telah menunjukan bahwa gelanggang 2\mathbb{Z} dan 3\mathbb{Z} tidak isomorphic. Nah..sekarang kita generalisasi permasalahannya.

Diberikan sebarang gelanggang n\mathbb{Z} dan m\mathbb{Z} dengan n\neq m bilangan bulat positif

Apakah n\mathbb{Z} dan m\mathbb{Z} isomorphic?

Nah..untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita harus menggunakan salah satu sifat dari gelanggang homomorfisma n\mathbb{Z}

Teorema: Diberikan gelanggang homorfisma \theta dari n\mathbb{Z} ke R

\theta:n\mathbb{Z}\rightarrow R

maka \theta\left(nk\right)=k\theta\left(n\right) untuk sebarang bilangan bulat k

Bukti: Jika k=0, jelas trivial. Andaikan k\neq 0, diperoleh

\theta\left(nk\right)=\theta\left(\underbrace{n+n+\ldots+n}_{k}\right)

\theta\left(nk\right)=\underbrace{\theta\left(n\right)+\ldots+\theta\left(n\right)}_{k}

\theta\left(nk\right)=k\theta\left(n\right)

Selanjutnya, diketahui \theta\left(nk-nk\right)=\theta\left(0\right)=0, diperoleh

\theta\left(nk-nk\right)=\theta\left(nk\right)+\theta\left(-nk\right)

0=k\theta\left(n\right)+\theta\left(-nk\right)

-k\theta\left(n\right)=\theta\left(-nk\right)

Terbukti \theta\left(nk\right)=k\theta\left(n\right), untuk sebarang bilangan bulat k

QED

Nah..kita tahu bahwa n\mathbb{Z} dan m\mathbb{Z} dibangun oleh n dan m. Itu berarti jika terdapat gelanggang isomorfisma f dari n\mathbb{Z} ke m\mathbb{Z}

f:n\mathbb{Z}\rightarrow m\mathbb{Z}

maka f\left(n\right)=m

Kenapa begitu?

Andaikan f\left(n\right)\neq m tetapi f\left(n\right)=mk untuk suatu bilangan bulat tak-nol k. Diperoleh

\vdots

f\left(-n2\right)=-mk2

f\left(-n\right)=-mk

f\left(0\right)=0

f\left(n\right)=mk

f\left(n2\right)=mk2

f\left(n3\right)=mk3

\vdots

Alih-alih memetakan n\mathbb{Z} ke m\mathbb{Z}, gelanggang isomorfisma f malah memetakan n\mathbb{Z} ke mk\mathbb{Z}. So.. haruslah f\left(n\right)=m

Okey.. sampai saat ini kita belum tahu apakah gelanggang isomorfisma f dari n\mathbb{Z} ke m\mathbb{Z} itu ada atau tidak, Yang kita ketahui jika gelanggang isomorfisma f ini ada maka haruslah f\left(n\right)=m.

Nah sekarang perhatikan

f\left(n\right)f\left(n\right)=m\cdot m

f\left(n\cdot n\right)=m\cdot m

nf\left(n\right)=m\cdot m

n\cdot m=m\cdot m

n=m

Padahal diketahui n\neq m. Kontradiksi. Itu berati gelanggang isomorfisma f mustahil ada. Dengan kata lain n\mathbb{Z} dan m\mathbb{Z} dengan n\neq m tidaklah isomorphic

 

 

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**
Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

3 Responses to nZ dan mZ tidak isomorphic

  1. euis sapinah cianjur says:

    terima kasih mas Aria Turns,saya mau ujian analisis real ,materinya sudah membantu saya.

  2. MeyBengkulen says:

    meski jauh dr kata mengerti akan apa yg tersurat disini tp tak salah jk sy brucap makasih atas tulisannya

    salam kenal dr sy mas aria,

    mhon do’a jg atas brita duka di http://kakmila.wordpress.com/2011/01/04/semangat-sembuh-untuk-sausan/

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s