Barisan Cauchy

Secara sederhana, barisan Cauchy adalah suatu barisan semakin lama jarak antara suku-sukunya semakin kecil. Secara formal didefinisikan sebgai berikut

Definsi: Suatu barisan X=\left(x_{n}\right) didalam bilangan real dikatakan barisan Cauchy jika untuk setiap \epsilon >0 terdapat bilangn asli k_\epsilon sedemikan hingga untuk setiap bilangan asli  n,m>k_{\epsilon} berlaku \left|x_{n}-x_{m}\right|<\epsilon

Jadi suatu barisan dikatakan barisan Cauchy jika setelah suku ke-k_\epsilon maka  jarak suku yang satu dengan yang lainnya akan selalu kurang dari \epsilon. Bagaimana menentukan k_\epsilon? Itu tergantung dari nilai \epsilon yang kita pilih.

Contoh: Buktikan barisan \left(1/n\right) merupakan barisan Cauchy

Ambil sebarang bilangan real \epsilon >0, nah kita harus mencari bilangan asli k_\epsilon sehingga untuk sebarang bilanga asli n,m>k_{\epsilon} berlaku \left|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right|<\epsilon

Ambil saja k_{\epsilon}>2/\epsilon. Jika n,m>k_{\epsilon} maka \frac{1}{n}<\frac{1}{k_{\epsilon}} dan \frac{1}{m}<\frac{1}{k_{\epsilon}}. Diperoleh

\left|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right|<\frac{1}{n}+\frac{1}{m}<\frac{2}{k_{_{\epsilon}}}<\epsilon

Sifat-Sifat barisan Cauchy:

  1. Setiap barisan cauchy terbatas
  2. Suatu barisan adalah konvergen jika hanya jika merupakan barisan Cauchy.

Dari sifat 2, kita mengetahui satu hal: Jika suatu barisan konvergen ke L maka semakin mendekati L jarak antra suku-sukunya akan semakin kecil

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**
Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis and tagged , , , . Bookmark the permalink.

6 Responses to Barisan Cauchy

  1. naaa says:

    mau tanya, sebenarnya perbedaan antara barisan konvergen dan barisan cauchy itu apa ? saya masih bingung ,. karena untuk barisan cauchy xn-xm < eps , sedangkan abrisan konvergen xn-x < eps .

  2. (-1)^n bukan barisan cauchy, Lihat definisi..

  3. rezi says:

    kalo (-1)^n adlah barisan cauchy apa bukan y ?

  4. Azka Creates says:

    Tapi menurut dosenq tdk semua barisan cauchy itu konvergen

    • Aria Turns says:

      Teorema: Suatu barisan adalah konvergen jika hanya jika merupakan barisan cauchy .
      Hanya berlaku di himpunan bilangan real, di ruang lain belum tentu berlaku
      Contoh; Didefinsiskan barisan pada \mathbb{Q} sebagai berikut
      3/1, 31/10, 314/100,…..
      Barisan tersebut Caucy tetapi tidak konvergen di himp bilangan rasional, karena limitnya adalah \pi kita tahu \pi adalah irasional

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s