Paradoks Banach-Tarski

© wikipedia

Boleh dibilang Paradoks Banah-Tarski adalah hal yang paling ajaib, yang paling aneh di Matematika, membuat siapa saja yang pertama kali mengetahuinya pastilah terbengong-bengong, terheran-heran dan terkencing-kencing, Okey saya berlebihan, I know.  Paradoks Banah-Tarski berkata kita bisa memecahkan sebuah bola padat menjadi kepingan-kepingan berhingga lalu kita bisa menyusun ulang kepingan-kepingan tersebut hanya dengan mengunakan rotasi dan translasi menjadi 2 buah bola yang identik dengan bola sebelumnya. Paradoks banach-Tarski bisa kita anologikan sebagai berikut: kita bisa memotong satu buah apel menjadi beberapa potongan lalu kita bisa menyusun ulang potongan-potongan tersebut menjadi 2 buah apel yang sama persis dengan sebelumnya.

“Mustahil” pasti kamu akan berkata demikian. Ya..mungkin hal tersebut mustahil di dunia nyata tetapi tidak di dunia Matematika.

Pertama-tama saya mau menegaskan bola padat yang saya bicarakan adalah bola padat menurut pemahaman matematika. Menurut matematika bola padat adalah sebuah himpunan titik-titik yang didefinsikan sebagai berikut:

S=\left\{ \left(x,y,z\right)|x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq r^{2}\right\}

dengan r adalah jari-jari bola. Nah..sekarang ada berapa banyak titik-titik di S? Tak-hingga banyaknya. Nah..inilah yang membedakan bola di dunia matematika dengan bola di dunia nyata. Di dunia nyata bola mempunyai titik-titik (baca: atom-atom) yang berhingga. Ini juga lah yang  menjadi alasan utama mengapa paradoks Banach-Tarski hanya bisa terjadi di dunia Matematika tidak di dunia nyata.

Paradoks Banach-Tarski

Secara formal paradoks Banach-Tarski menyatakan

Paradoks Banach-Tarski (PBT): Untuk sebarang bola padat B\subseteq\mathbb{R}^{3} dapat dipecahkan menjadi kepingan-kepingan  berhingga,  P_{1},\ldots P_{n},Q_{1}\ldots Q_{m} dan isometries \phi_{1},\ldots,\phi_{n},\psi_{1},\ldots,\psi_{m} pada \mathbb{R}^{3} sedemikian-hingga:

{\displaystyle B=\cup_{i=1}^{n}\phi_{i}\left(P_{i}\right)=\cup_{i=1}^{m}\psi_{i}\left(Q_{i}\right)}

Beberapa literatur yang saya baca mengatakan bola padat cukup dipecah menjadi 4 kepingan untuk terjadinya PBT. Nah.. sekarang pertanyaannya

Kepingan yang seperti apa sehingga terjadi PBT?

Bukan sembarang kepingan, untuk terciptanya PBT, bola padat harus dipecah menjadi kepingan-kepingan yang non-measurable, secara sederhana itu artinya kepingan-kepingan tersebut mempunyai bentuk atau struktur yang teramat rumit sehingga  ukuran, atau volume menjadi tidak jelas, bahasa matematisnya Not well defined. Nah..pertanyaan selanjutnya

Bagaimana mengkontruksikan kepingan-kepingan yang  non-measurable?

Err..kita tidak tahu. PBT melibatkan aksioma pilihan (Axiom of Choice) Buat yang belum tahu apa itu aksioma pilihan silahkan klik di sini. Jika kita punya bola padat A dan C\left(A\right) adalah himpunan semua kepingan yang mungkin  maka  aksioma pilihan akan memililih kepingan-kepingan yang non-measurable tanpa pernah kita ketahui cara memilihnya

Strong Version.

Sebenarnya ada 2 versi dari PBT yang pertama versi lemah (weak Version) yang saya jelaskan  diatas dan versi kuat (Strong Version). PBT versi kuat merupakan akibat dari PBT versi lemah

PBT versi kuat: Untuk sebarang 2 buah bola padat A dan B dengan  A,B\subseteq\mathbb{R}^{3} maka dapat dipecah menjadi kepingan-kepingan berhingga A=A_{1}\cup\ldots\cup A_{n} dan B=B_{1}\cup\ldots\cup B_{n} sedemikian hingga untuk setiap i dari 1 sampai n, A_i kongkruen ke B_i

PBT versi kuat bisa dianalogikan sebagai berikut: kita bisa memecah bola padat seukuran kelereng menjadi kepingan-kepengan berhingga lalu kita bisa menyusun ulang kepingan-kepingan tersebut menjadi bola padat seukuran matahari. Mmm… lebih aneh bin ajaib dari PBT versi lemah ya kan?

 

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**
Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis, geometri, Paradoks and tagged , , , . Bookmark the permalink.

12 Responses to Paradoks Banach-Tarski

  1. Pingback: Cara menggandakan uang secara Matematika | Aria Turns

  2. virga surya says:

    kalo ini terjadi di dunia nyata mungkin bisa dikembangkan para ilmuwan dgn teknologi tertentu, sehingga benda padat bahkan makhluk hidup bisa melakukan cloning

  3. murtadha says:

    Namanya juga matematika, gak perlu sama dengan dunia nyata. Contoh sederhana aja adalah dimensi. dalam matematika jumlah dimensi bisa tak hingga, sedangkan di alam yang kita ketahui cuma empat … hehehe

    Salam

    • bay says:

      dunia yang kita tempati berdimensi 3, dan menaungi dimensi 2 dan 1. dimensi tinggi bisa masuk ke dimensi yang lebih rendah, tapi tidak untuk sebaliknya..itulah mengapa dimensi 3 ke atas tidak terjangkau interpretasinya, tapi dapat dikenali sifat2nya dengan kita mempelajari dimensi lebih rendah dari 3. dan menemukan polanya

  4. Fabi says:

    tidak boleh seperti itu….

    jumlah atom sebelum reaksi = jumlah atom setelah reaksi

    dia menyalahi hukum kekekalan massa

  5. Iwan Hermawan says:

    Kok yang lain… ada fotonya ya…. yang saya nggak ada… aneh… hehehe…

  6. Iwan Hermawan says:

    Wow… sangat menarik paradoks tersebut… makasih Mas… atas penjelasannya… sangat berharga… maklum ALJABAR ABSTRAK saya… F, hehehe… makasih… hebatlah si Mas… (menjilat) 😀

  7. keren!
    tapi sebenarnya bukan cuma 2 bola kan, malah bisa jadi berapapun 😛

  8. anwar mutaqin says:

    klo potongannya dilanjutkan terus, bisa jadi besarnya tak hingga ya?

  9. Herry PS says:

    Paradox Banach-Tarski memang sangat menarik dan teorinya sangat dalam… btw itu nonmeasurable terhadap ukuran apa ya?

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s