1-2+3-4+5-6+…

Saya punya soal deret tak hingga untuk kalian:

1-2+3-4+5-6+…

atau dalam bentuk sigma ditulis

\sum_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^{n+1}n

Berapa hasilnya?

Menurut Euler hasilnya adalah  ¼. Mmm…hasil yang aneh bin ajaib bukan? Mengingat deret tersebut merupakan deret bilangan bulat harusnya hasilnya adalah bilangn bulat juga, mustahil hasilnya pecahan.

Darimana Euler mendapatkan hasil ¼?

Asumsi s=1-2+3-4+5-6+… , diperoleh:

4s=(1-2+3-4+5-6+…)+(1-2+3-4+5-6+…)+(1-2+3-4+5-6+…)+(1-2+3-4+5-6+…)

4s=(1-2+3-4+5-6+…)+1+(-2+3-4+5-6+…)+1+(-2+3-4+5-6+…)-1+(3-4+5-6+…)

4s=1+[(1-2+3-4+5-6+…)+(-2+3-4+5-6+…)+(-2+3-4+5-6+…)+(3-4+5-6+…)]

Sekarang perhatikan [(1-2+3-4+5-6+…)+(-2+3-4+5-6+…)+(-2+3-4+5-6+…)+(+3-4+5-6+…)] pada baris terakhir. Diperoleh 4 deret tak hingga (1-2+3-4+5-6+…), (-2+3-4+5-6+…), (-2+3-4+5-6+…) dan (+3-4+5-6+…). Cara menjumlahkan [(1-2+3-4+5-6+…)+(-2+3-4+5-6+…)+(-2+3-4+5-6+…)+(+3-4+5-6+…)] adalah dengan mengumpulkan suku ke-n dari tiap-tiap ke-4 deret tersebut, lalu hitung. Diperoleh:

4s=1+[(1-2-2+3)+(-2+3+3-4)+(3-4-4+5)+(-4+5+5-6)+…)

4s=1+[0+0+0+…]

4s=1

s=¼

The Truth

Okey..sebenarnya deret tersebut divergen, Darimana kita tahu? KIta lakukan tes kekonvergenan sederhana yaitu term test

Term test: Jika barisan  \left(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots\right) limitnya tidak mendekati nol atau limitnya tidak ada maka deret  \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} divergen.

Dengan mudah kita tahu bahwa barisan (1,-2,+3,-4, …) tidak mempunyai limit maka jelas deret 1-2+3-4+5-6+… divergen.

Kesalahan dari Euler adalah langsung mengasumsikan deret tersebut konvergen tanpa melakukan tes kekonvergenan terlebih dahulu. Itu sebabnya dia menemukan hasil yang aneh bin ajaib.

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

 

 

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in kalkulus and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

12 Responses to 1-2+3-4+5-6+…

  1. Sirda Eldita says:

    pusing gw hahahhahah

  2. anwar mutaqin says:

    Itu mgkn main main2nya Euler kali. Ada teorema tp sy lupa persisnya yang mengatakan bahwa jika suatu deret divergen, maka kita bisa membuat jumlahnya sama dengan a dengan a adalah sebarang bilangan real. Jadi jumlahnya bisa berapa aja terserah maunya kita.

  3. nama says:

    Menarik sekali..
    bisa ya jadi 1/4 gitu?
    tapi kalau diliat kan 1-2 = -1, 3-4 = -1, 5-6 = -1, dst
    jadi deretnya ∞ . -1 = -∞, divergen lah..

  4. nurbaiti melistia says:

    pusing juga yach ….
    🙂
    ajarin donk !!

  5. homo-topi says:

    Lah itu mah dah basi tet!!!! emang loe baru tau ya? oh nggak apa2 nyante aja tet!!! Heeee. Sorry ye!!!!

  6. homo-topi says:

    Begini tet!!!!

    Ketika kita memandang sebuah proses tak hingga.

    Dalam aljabar kita mengenal operasi pengurangan, penjumlahan, pembagian dan perkalian. Operasi tersebut bisa dikalkulasi dengan beberapa aturan-aturan pada oeprasi seperti sifat komutatif, asosiatif. Nah Sifat komutatif dan asosiatif itu dalam aljabar hanya digunakan untuk mengkalkulasi proses-porse berhingga seperti penguranagn sebanyak hingga suku, penjumlahan sebanyak hingga suku dll.

    Apa yg anda tampilkan disin adalah prosesnya tak hingga suku. Dalam proses tak hingga suku, matematika telah membuat aliran tersendiri untuk mengkalkulasi proses2 tak hingga suku yang kita kenal sebagai analisis. Ada beberapa metode dalam kalkulasi dari proses tak hingga suku dalam analisis di antaranya yaitu yaitu kekonvergenan, keterdiferensialan dan keintegralan.

    Seakrang loe bisa lihat, kekonvergenan pasti berbicara mengenai kalkulasi dari proses-prese tak hingga suku. Mana ada kekonvergenan berbicara pada proses-proses berhingga suku!!! Lihat fenomena dalam kalkulus!!!!!

    Kesimpulanya bahwa;

    1. Hukum komutatif dan asosiatif hanya berlaku pada proses kalkulasi berhingga suku-suku dalam penjumlahan, perkalian, pengurangan dan pembagian,

    2. Hukum komutatif dan asosiatif tidak berlaku pada proses kalkulasi tak hingga suku-suku seperti kekonvergenan, keterdiferensial dan keintegralan.

    Begituuu tet!!!!

    • Aria Turns says:

      Kesimpulanya bahwa;

      1. Hukum komutatif dan asosiatif hanya berlaku pada proses kalkulasi berhingga suku-suku dalam penjumlahan, perkalian, pengurangan dan pembagian,

      2. Hukum komutatif dan asosiatif tidak berlaku pada proses kalkulasi tak hingga suku-suku seperti kekonvergenan, keterdiferensial dan keintegralan.

      Mmm..ada benernya juga yach, Sepertinya menarik kalau 2 kesimpulan yang kamu katakan ini dibahas lebih medalan dalam bentuk paper atau pun Tugas Akhir, sepertinya belum pernah ada yang membahasnya

  7. Ariyas says:

    Kereennn…. Berarti euler salah…?????? Wow…….

  8. muhammad says:

    slamat sore mas…
    saya mau nanya ni…. blh y…!!!
    Dalam perkalian silang/cros pada vektor itu memake sin kan mas, alasannya bagaimana y? tidak kayak pada perkalian titiknya, dia kan pake cos.

  9. hunter212 says:

    hmm….
    brarti hasilnya gak ada??
    ato ngak terbatas???
    bingung jga
    hehehe

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s