Irisan dari subgrup-subgrup adalah subgrup pula

Ada 1 Soal yang boleh dikatakan menjadi soal wajib yang selalu ada pada buku-buku text Teori Grup

Buktikan irisan dari subgrup-subgrup pada  suatu Grup adalah subgrup pula

Banyak mahasiswa Matematika yang bingung menjawab soal tersebut, padahal soal tersebut sering muncul ketika ujian. Nah sekarang mari kita lahap soal tersebut. Untuk menjawab soal tersebut pertama-tama kita harus menuliskannya dalam bentuk formal

Diberikan H_i koleksi dari subgrup-subgrup pada grup G yang diindeks oleh i\in I. Buktikan  H=\cap_{i\in I}H_{i} subgrup dari G

Untuk membuktikan H subgrup, kita harus membuktikan 3 hal berikut

  1. Jika g,h\in H, maka gh\in H
  2. e\in H, dengan e adalah elemen identitas dari G
  3. Jika g\in H, maka g^{-1}\in H

Nah..mari kita buktikan satu-persatu

  1. Ambil g,h\in H maka g,h\in H_i untuk semua i\in I. Itu berarti gh\in H_i untuksemua i\in I, dengan kata lain gh\in H
  2. Karena H_i subgrup maka e\in H_i untuk semua i\in I. Terbukti e\in H
  3. Ambil g\in H maka g\in H_i. Karena H_i subgrup maka g^{-1}\in H_i untuk semua i\in I, dengan kata lain g^{-1}\in H

Terbukti H subgrup.

Nah pertanyaan selanjutnya:

Bagaimana dengan gabungan dari subgrup, apakah merupakan subgrup juga?

Tidak, untuk membuktikannya cukup menggunakan counterexample

Diketahui 2\mathbb{Z} dan 3\mathbb{Z} merupakan subgrup dari \mathbb{Z}. Ambil 2\in2\mathbb{Z} dan 3\in3\mathbb{Z} maka 2+3=5\notin2\mathbb{Z}\cup3\mathbb{Z}. Terbukti 2\mathbb{Z}\cup3\mathbb{Z} bukan merupakan subgrup dari \mathbb{Z}

 

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

 

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak and tagged , , . Bookmark the permalink.

26 Responses to Irisan dari subgrup-subgrup adalah subgrup pula

  1. vivian says:

    mas aria…
    bukti yang mas buat itu adalah bukti penyangkal kan mas ?? ( setahu saya sih,, maap kalau saya salah maklum tingkat pemahaman dan kepintaran saya masih jauh di bawah rata2)

    tapi yg ingin saya tanyakan adlh bisakah mas membuat pembuktian lainnya dengan cara lain selain yg mas buat ini ??

    karena saya ingin lebih memahami tentang materi subgrup normal ini mas…

    mohon bantuannya yah mas..
    terima kasih utk bantuannya

  2. vivian says:

    Dear Aria
    bukti yg kak sampaikan adalah bukti penyangkal kan ??
    apakah ada contoh pembuktian dengan cara lain selain cara diatas…maaf..saya hanya ingin lebih memahami tentang materi ini…
    terima kasih karna mau membantu
    mohon segera di balas ^_^

    • Aria Turns says:

      bukti penyangkalan?? Saya baru denger. Untuk menyangkal suatu hal tidak perlu pake bukti tetapi pake contoh yang disebut Counter Example (Contoh penyangkalan). Jiak sutu teorema sudah ada buktinya dengan benar maka mustahil ada Counter Example-nya

      • vivian says:

        maaf mas … saya pikir tadi commentar saya tdk terkirim jadi saya krim 2x …

        ohh ia mas… saya baru mengerti ,,,
        maaf karena tidak terlalu pintar dalam materi ini mas..karena memang saya masih membutuhkan pembelajaran lebih lanjut mas ..jadi mohon bantuan dan kesabarannya yah mas…

        tapi yg saya maksudkan bisa tidak mas membuktikan irisan dari subgrup2 adlh subgrup juga dengan tdk menggunakan counter example …??

  3. Febby says:

    Ass, minta tolong cara membuktikan ini
    buktikan bahwa center Z(G) adalah subgrup normal dari G

  4. mas ..saya mau tanya tentang grup normal dmana soal nya : tunjukkan bahwa setiap subgrup dari suatu grup siklik adalah normal !
    saya kurang paham ttg grup siklik dan grup normal .. 😦

  5. lydia says:

    mas apa sih perbdaan center dan centerlizer tolong buat contohnya mas?

  6. mas saya mau minta penjelasan dan bukti dr soal:
    order dari sebuah elemen grup sama dengan order dari invers elemen tersebut.
    terima kasih….

  7. Siska Ryane says:

    Center dari grup G adalah Z(G) = { a Є G│ax = xa ∀ x Є G } dan centralizer dari a pada G adalah C(a) = { g Є G│ga = ag } buktikan Z(G) = ∩¦(a ∈G) C(a)

  8. leonk says:

    assalamu’alikum mas aria,,, saya mau minta tolong dalam pembuktiian subgrup dimana soalnya seperti ini:
    Jika T merupakan subgrup dari H dari suatu operasi.Jika H merupakan subgrup dari G dgn suatu operasi. Buktikan bahwa T juga merupakan subgrup dari G. Tolong ya mass..trim’s

  9. leonk says:

    assalamu’alikum mas aria,,, saya mau minta tolong dalam pembuktiian subgrup dimana soalnya seperti ini:
    Jika merupakan subgrup dari H dari suatu operasi.Jika H merupakan subgrup dari G dgn suatu operasi. Buktikan bahwa T juga merupakan subgrup dari G. Tolong ya mass..trim’s

  10. adit says:

    Bukannya tidak boleh membuktikan dengan contoh ya??

    • Aria Turns says:

      Kalau membantah pernyataan boleh pake contoh yang disebut dengan counterexample tapi untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan memang tidak boleh pake contoh

  11. winda says:

    tolong cantumin semua materi tentang subgrup dong… yang dijelasin m dosen masih kurang paham nih,,,
    mahasiswa yang lain jg gtu….

  12. homo-topi says:

    Dear Ibnu.

    Membaca himpunan memang kendala banyak matematikkawan di indonesia dari sabanag sampe merauke. Kendala itu terletak pada idnetifikasi anggota dari suatu himpunan. Jadi simpelnya begini:

    Misalkan diberikan sebuah himpunan yg di notasikan dengan

    A = { X : P(X) }

    Cara membaca himpunan tersebut adalah dengan mengidentifikasi dari elemen pada A, yaitu A memiliki elemen x yang memenuhi sifat P(x). Sifat P(x) itu dinamakan SYARAT KEANGGOTAAN dari elemen x dalam A.

    Begitu mas Ibnu. Maaf ya kalo ada kata-kata yang salah. Heeee Peace.

  13. Assalammualaikum!pakabar mas aria?kebetulan nih, bu dosen matkul aljabbstrak bru aja ngebahas tentang subgrup.

    defenisi yg ane dapat tentang grup:

    Suatu subhimpunanH dari grup G dikatakan subgrup dari G jika H terhadap operasi di G membentuk suatu grup. Dalam hal ini ditulis H \le G , dan jika H \ne G ditulis H < G .

    apakah dengan begitu A \le B sudah pasti A \subseteq B ?

    • Aria Turns says:

      Wass. lho anda berkata

      Suatu subhimpunanH dari grup G dikatakan subgrup dari G jika H terhadap operasi di G membentuk suatu grup. Dalam hal ini ditulis H \le G , dan jika H \ne G ditulis H < G .

      bukankah itu sudah menjawab pertanyaanmu sendiri

      • ehmm… iya juga yah…
        maap mas (keatahuan belum paham deh)
        😀
        hehehehe… kemarin baru baca sekilas tadi baru dipelajari lebih detail, maap yah.
        ohiya mas, kebanyakan temen2 dikelas termasuk aku sulit membaca himpunan. (dosen:”kalian lemah dialjabar karena kalian lemah dalam membaca himpunan”). bisa sharing mas? (lebih ke cara pikir untuk mamahami himpunan itu sendiri).
        trimaksih, jazakallah ahsanaljaza…

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s