Teorema Cantor

Diberikan sebarang himpunan S, didefinisikan himpunan kuasa (power set) dari S (dinotasikan P\left(S\right)) yaitu himpunan yang berisikan semua subhimpunan dari S. Contoh: S=\left\{ a,b\right\} maka P\left(S\right)=\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} .  Itu artinya himpunan kuasa adalah himpunan yang berisikan himpunan-himpunan.

Jika S berhingga dengan n elemen maka P\left(S\right) memuat 2^n elemen. (Itu karena untuk membuat subhimpunan dari S, kita harus melihat kesemua n elemen lalu memililih setiap elemen apakah mau dimasukkan ke subhimpunan atau tidak. Ada 2^n cara untuk membuat pilihan sebanyak n). Hal tersebut juga berlaku untuk himpunan dengan nol elemen yaitu himpunan kosong \emptyset, himpunan kuasa dari \emptyset adalah P\left(\emptyset\right)=\left\{ \emptyset\right\}  himpunan beranggotakan himpunan kosong.

Kita tahu bahwa n<2^n akan selalu benar, itu berarti himpunan berhingga akan selalu lebih kecil dari himpunan kuasanya lalu bagaimana dengan himpunan tak-hingga? Menurut Teorema Cantor, hal tersebut juga berlaku untuk himpunan tak-hingga.

Terorema Cantor: Sebarang himpunan selalu mempunyai kardinalitas (banyaknya elemen) yang lebih kecil dari himpunan kuasanya

Bukti: Diberikan sebarang himpunan S untuk membuktikan kardinalitas S lebih kecil dari P\left(S\right) akan ditunjukan tidak ada fungsi surjektif f dari S ke P\left(S\right). Dengan kata lain akan ditunjukan terdapat subhimpunan A dari S yang bukan merupakan image (daerah hasil) dari f.

A=\left\{ x\in S|x\notin f\left(x\right)\right\}

Subhimpunan A dikontruksikan dari suatu elemen di S yang image atas f tidak memuat dirinya sendiri. So..untuk semua x_0 di S berlaku

x_{0}\in A\Leftrightarrow x_{0}\notin f\left(x_{0}\right)

Itu artinya A dan f\left(x_{0}\right) adalah dua himpunan yang berbeda, yang satu memuat x_0 dan yang satu tidak. Itu artinya terdapat A\subseteq S sedemikian hingga  A\neq f\left(x_{0}\right) untuk semua x_{0}\in S

Teorema Cantor menyatakan bahwa jika kita mempunyai suatu himpunan apapun himpunan tersebut maka kita selalu bisa mengkontruksikan himpunan yang lebih besar dari himpunan tersebut yaitu himpunan kuasanya. Teorema Cantor berakibat yang namanya himpunan Semesta (Universal set) mustahil ada. Apa itu himpunan semesta? Yaitu himpuan terbesar yang memuat semua himpunan yang ada.

Akibat: Himpunan Semesta mustahil ada

Bukti: Andaikan himpunan semesta U ada maka berdasarkan teorema cantor terdapat P\left(U\right) yang lebih besar dari U, Jelas suatu hal yang kontradiksi.

Akibat dari teorema cantor ini dikenal dengan nama paradoks Cantor.

———————————————————————————————————————————————

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in himpunan, Paradoks, pembuktian and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

One Response to Teorema Cantor

  1. Danu says:

    Ohhhh gini toh rupanya paradoks Cantor yang terkenal itu! Untung ada blog ini. Lumayan lama juga mo mempelajarinya tapi uraiannya terlalu panjang dan njlimet. Makasih dengan ngbaca blog ini langsung dong

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s