Grup

Diberikan 2 buah persamaan linier sederhana yang mempunyai bentuk

i) ax=b
ii) x+a=b

Tentu saja a dan b merupakan bilangan real. Bagaimana solusinya? Dengan mudah kita tahui persamaan i) mempunyai solusi berbentuk x=b/a dan persamaan ii) mempunyai solusi berbentuk x=b-a. Nah sekarang kita jabarkan setahap-demi setahap bagaimana kedua solusi tersebut diperoleh

Untuk persamaan i)

ax=b

\frac{1}{a}\left(ax\right)=\frac{1}{a}b      kalikan dengan \frac{1}{a}

\left(\frac{1}{a}a\right)x=\frac{1}{a}b     sifat asosiatif

1x=\frac{1}{a}b     diperoleh 1 dari menghitung \left(\frac{1}{a}a\right)

x=\frac{1}{a}b     sifat 1 terhadap perkalian

x=\frac{b}{a}     hitung \frac{1}{a}b

nah..sekarang persamaan ii)

x+a=b

\left(x+a\right)+\left(-a\right)=b+\left(-a\right)     jumlahkan dengan -a

x+\left(a+\left(-a\right)\right)=b+\left(-a\right)     sifat asosiatif

x+0=b+\left(-a\right)      diperoleh 0 dari menghitung a+\left(-a\right)

x=b+\left(-a\right)     sifat 0 terhadap penjumlahan

x=b-a     hitung b+\left(-a\right)

Nah..dari penjabaran diatas, kita memperoleh sifat-sifat operasi perkalian dan penjumlahan pada bilangan real sebagai berikut

Penjumlahan dan perkalian bersifat asosiatif

\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)

\left(ab\right)c=a\left(bc\right)

Terdapat bilangan spesial, jika suatu bilangan dijumlah (atau dikalikan) dengan bilang spesial hasilnya ya bilangan itu juga

Untuk penjumlahan, bilangan tersebut adalah 0 karena untuk semua bilangan a berlaku a+0=0+a=a

Sedangkan untuk perkalian, bilangan tersebut adalah 1 karena untuk semua bilangan tak nol a berlaku a1=1a=1

Setiap bilangan a terdapat bilangan b yang akan menghasilkan bilangan spesial

Untuk penjumlahan, setiap bilangan a pastilah terdapat bilangan -a sedemikian hingga a+\left(-a\right)=\left(-a\right)+a=0. Sedangkan untuk perkalian, setiap bilangan tak nol a pastilah terdapat bilangan \frac{1}{a} sedemikian hingga a\frac{1}{a}=\frac{1}{a}a=1

Oya sebelumnya saya mau nanya penjumlahan dan perkalian itu sebenarnya apa sich? Menurut matematika, penjumlahan dan perkalian adalah operasi biner. Apa itu operasi biner? Silahkan baca penjelasan detai saya disini. Nah kalo penjelasan singkatnya; operasi biner pada himpunan S adalah mengoperasikan 2 buah elemen (makanya opersi biner) untuk menghasilkan suatu elemen lain, yang masih termuat di S juga. Contohnya ya penjumlahan dan perkalian, kita tahu 2 buah bilangan real kalau dijumlahkan atau dikalikan hasilnya pasti bilangan real juga, ya kan?

Nah..sekarang kita abstrakkan semua hal yang telah kita bahas, hasil abstraksi itulah yang kita sebut Grup.

Definisi: Himpunan tak kosong G yang dilengkapi opersi biner \bullet (kita menotasikan a\bullet b sebagai hasil dari operasi \bullet pada 2 elemen a dab b di G) dikatakan Grup (Group) jika memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut:

Asosiatif

(\forall a,b,c\in G)\, a\bullet\left(b\bullet c\right)=\left(a\bullet b\right)\bullet c

Elemen Identitas

Terdapat elemen identitas e\in G sedemikian hingga untuk semua a\in G berlaku e\bullet a=a\bullet e=a

Elemen Invers

Untuk setiap a\in G terdapat elemen invers a'\in G sedemikian hingga a\bullet a'=a'\bullet a=e

Berapa literatur menambahkan satu aksioma lagi

Closure

(\forall a,b\in G)\, a\bullet b\in G

Akan tetapi aksioma ini tidak diperlukan, kenapa? Karena sifat closure telah termuat didalam operasi biner. Umumnya grup dinotasikan \left(G,\bullet\right). Oya perlu saya ingatkan didalam grup tidak selalau berlaku sifat komutatif a\bullet b=b\bullet a. Grup yang mempunyai sifat komutatatif disebut Grup abelian. Banyak elemen dari suatu grup disebut order, dinotasikan \left|G\right|, Suatu grup dikatakan berhingga jika ordernya berhingga.

Apa saja contoh grup? kalian baca saja disini yach 🙂

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak and tagged , , . Bookmark the permalink.

3 Responses to Grup

  1. Pingback: Pembuktian nol itu netral | Aria Turns

  2. Erliani Prihati says:

    Bolehkah minta info lebih lanjut tentang struktur aljabar?

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s