barisan konvergen

Kali ini saya mau membahas barisan dan kekonvergenan

Barisan

 

Definisi: Suatu barisan (pada bilangan real) adalah suatu fungsi pada \mathbb{N} himpuan bilangan asli dengan range-nya (daerah hasilnya) dalam \mathbb{R}.

Dengan kata lain barisan pada \mathbb{R}. memasangkan setiap bilangan asli n=1,2,3,.. ke suatu bilangan real. Bilangan real yang diperoleh disebut nilai dari barisan. Umumnya suatu bilangan real yang dipasangkan ke suatu n\in\mathbb{N} dinotasikan x_{n}. Sedangkan barisan X:\,\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R} dinotasikan X=\left(x_{n},n\in\mathbb{N}\right).

Contoh

X=\left(2n,\, n\in\mathbb{N}\right) adalab barisan 2, 6, 8, 10, …

X=\left(\frac{1}{n},\, n\in\mathbb{N}\right) adalah barisan 1, 1/2, 1/3,…

X=\left(3,\, n\in\mathbb{N}\right) adalah barisan konstantanta 3, 3, 3,..

Konvergen

Para matematikawan menyadari ada barisan-barisan yang mempunyai sifat semakin besar n maka nilai x_{n} akan mendekati suatu nilai L. Sebagai contoh Y=\left(\frac{1}{n},\, n\in\mathbb{N}\right). Semakin besar n maka y_{n} akan mendekati nol tetapi tidak pernah mencapai nol. (kenapa?).  Jika x_{n} mendekati L seiring membesarnya n lalu kita notasikan \epsilon sebagai jarak antara x_{n} dengan L, dengan mudah kita ketahui nilai \epsilon akan semakin kecil jika n membesar. Begitu pula sebaliknya \epsilon akan membesar jika n mengecil. Pertanyaannya adalah berapa minimal n sedemikan hingga jika diambil suatu \epsilon, jarak x_{n} dengan L akan selalu kurang dari \epsilon?

Pertanyaan inilah yang merupakan konsep dasar dari konvergen, untuk selanjutnya “minimal n” akan dinotasikan k\left(\epsilon\right)

 

Definisi: Diberiksan suatu barisan X=\left(x_{n},n\in\mathbb{N}\right), suatu bilangan real L dikatakan limit dari barisan X, jika untuk sebarang bilangan positif \epsilon>0 terdapat suatu bilangan asli k\left(\epsilon\right) sedemikain hingga untuk semua bilangan asli n dengan n\geq k\left(\epsilon\right) berlaku \left|x_{n}-L\right|<\epsilon. Jika L merupakan limit dari barisan X maka dikatakan X konvergen ke L. Jika barisan X tidak mempunyai nilai limit maka dikatakan barisan tersebut divergen.

 

Yang perlu diperhatikan adalah x_{n}\neq L. Notasi k\left(\epsilon\right) menandakan bahwa pemilihan nilai k\left(\epsilon\right) tergantung dari pemilihan \epsilon. Jika suatu barisan X konvergen ke L maka dinotasikan L=\lim\, X

Contoh

1. Buktikan 0=\lim\,\left(\frac{1}{n}\right)

Harus dibuktikan untuk setiap \epsilon>0 terdapat suatu bilangan asli k\left(\epsilon\right) sedemikain hingga untuk semua bilangan asli n dengan n\geq k\left(\epsilon\right) berlaku \left|\frac{1}{n}-0\right|<\epsilon.

Ambil sebarang \epsilon>0 maka \frac{1}{\epsilon}>0. Berdasarkan sifat Archimedean maka terdapat bilangan asli k\left(\epsilon\right)>\frac{1}{\epsilon}. Untuk semua bilangan asli n\geq k\left(\epsilon\right) maka n>\frac{1}{\epsilon}, diperoleh \frac{1}{n}<\epsilon. Jadi untuk semua n\geq k\left(\epsilon\right) berlaku

 

\left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}<\epsilon

Terbukti barisan \left(\frac{1}{n}\right) konvergen ke 0. Karena untuk semua bilangan asli n\geq k\left(\epsilon\right) dengan k\left(\epsilon\right)>\frac{1}{\epsilon}, jarak \frac{1}{n} dengan 0 akan selalu kurang dari \epsilon tidak peduli berapapun nilainya.

 

2. Buktikan 0=\lim\,\left(1/n^{2}\right)

kalian buktikan sendiri yach🙂 , caranya sama kok

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

11 Responses to barisan konvergen

  1. Indera Gestamaria says:

    Halo teman – teman saya banyak mendapat kesulitan tentang analisis real
    tolong dong ajari saya.

  2. mencari says:

    ehmm.. kenapa yah mesti kalo searching konvergensi pada barisan yang berada pada ruang bernorma selalu muncul hanya pada \mathbb{R} aja?
    kira2 masnya ini ada cita2 menulis yang pada ruang bernorma ga ya?

  3. rahakbau says:

    carilah barisan konvergen dan barisan divergen, jikan keduanya dijumlahkan maka akan menghasilkan barisan divergen

  4. sri says:

    Asslamualaikum,bagus banget bahan barisan konvergen dan divergen ini,bisa menjadi tambahan kulia saya……. nih.tambah lagi yaa mas bahannya……………

  5. inda says:

    wah,,catatn ini sangat bermanfaat,,,tks yah

  6. inna_risnawati says:

    assalamu ‘alaikum..salam kenal dri inna kak..kak dede punya tgs analisis real, kakak bisa bantu tdk??? mhon bantuanx kak..:-)

  7. mantab bro… aq ada tugas buat nyari definisi barisa bilangan rela yang konvergen sama divergen

  8. Fitri says:

    Aslm mas. tolong konstruksi na persamaan telegraph dimasukkan ke sini dong makasih buanyak

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s