Dugaan Birch dan Swinnerton-Dyer

Kali ini saya mau kembali membahas salah satu dari 7 millennium problem, Dugaan Birch dan Swinnerton-Dyer (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture), untuk mempermudah kita singkat saja menjadi BSD. BSD adalah masalah pada kurva elliptik (elliptic curve). Di sini saya tidak akan menjelaskan mengenai kurva elliptik. Jadi buat kalian yang tidak tahu apa itu kurva elliptik, silahkan belajar sendiri aja yach, kalian bisa tanya mbah google.

Diberikan kurva elliptik E:\, y^{2}=x^{3}+ax+b dengan a,b\in\mathbb{Q}. Himpunan titik-titik

E\left(\mathbb{Q}\right)=\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{Q}:\, y^{2}=x^{3}+ax+b\right\} \cup\left\{ \infty\right\}

mempunyai struktur grup abelian. Didefinisikan p+q+r=\infty, jika p,q,r adalah titik-titik yang colinier di E, dan invers (x,y) adalah (x,-y).

Teorema (mordell-Weill): Grup E\left(\mathbb{Q}\right), grup titik-titik rasional atas kurva elliptik E adalah grup abelian yang dibangun secara berhingga (finitely generated abelian group) maka

E\left(\mathbb{Q}\right)\cong\mathbb{Z}^{r}\oplus G

untuk suatu grup abelian berhingga G dan suatu bilangan bulat non-nehatif r yang disebut rank.

Simbol \oplus adalah direct sum.

Nah.. yang jadi pertanyaan bagaimana cara kita menghitung r?

Inilah yang coba dijawab oleh BSD. Pada awal tahun 1960an Bryan Birch dan Peter Swinnerton-Dyer membuat rumusan

\underset{p<x}{\prod}\frac{N_{p}}{p}

N_{p} adalah banyaknya solusi y^{2}=x^{3}+ax+b mod p prima. Dengan bantuan komputer yang disebut EDSAC, mereka menemukan dugaan

\underset{p<x}{\prod}\frac{N_{p}}{p}\sim C\left(\log\, x\right)^{r}

Dengan

x\rightarrow\infty

C adalah suatu konstanta

r adalah rank dari kurva elliptik

p adalah bilangan prima yang tidak membagi  \triangle dengan \triangle adalah determinan kurva elliptik  \triangle=-16\left(4a^{3}+27b^{2}\right)

Dugaan inilah yang disebut Dugaan Birch dan Swinnerton-Dyer (BSD) tetapi persamaan diatas bukan definisi formal dari BSD. Definsi formal dari BSD menggunakan Hasse-Weil L-function atas kurva elliptik.

Defisnisi Formal BSD

Didefinisikan a_{p}=p+1-N_{p} atau dengan kata lain N_{p}=p+1-a_{p}. Didefiniskan Hasse-Weil L-function atas E

{\displaystyle L\left(E,s\right)=\prod_{p}\left(1-a_{p}p^{-s}+pp^{-2s}\right)^{-1}}

Dengan p bilangan prima yang tidak membagi \triangle dan s\in\mathbb{C}. Jika kita ambil s=1 diperoleh

L\left(E,1\right)=\underset{p}{\prod}\left(1-a_{p}p^{-1}+p{}^{-1}\right)^{-1}=\underset{p}{\prod}\left(\frac{p}{p-a_{p}+1}\right)=\underset{p}{\prod}\left(\frac{p}{N_{p}}\right)

Teorema (Hesse): fungsi L\left(E,1\right) merupakan fungsi yang analytic continuation untuk semua

s\in\mathbb{C}

Nah barulah sekarang kita bisa menuliskan BSD dalam definisi formal

Dugaan BSD: Ekspensi taylor pada L\left(E,s\right) untuk s=1 mempunyai bentuk

L\left(E,s\right)=c_{r}\left(s-1\right)^{r}+c_{r+1}\left(s-1\right)^{r+1}+c_{r+2}\left(s-1\right)^{r+2}+\ldots

dengan c_{r}\neq0 dan r adalah rank dari E.

JIka BSD terbukti benar maka berakibat:

  1. E\left(\mathbb{Q}\right) berelemen tak hingga jika hanya jika L\left(E,1\right)=0. Jadi dengan BSD kita dengan mudah mngetahui apakah sebarang kurva elliptik mempunyai solusi pada bilangan rasional yang berhingga atau tak hingga
  2. Memudahkan kita menemukan pembangun (generator) dari sebarang E\left(\mathbb{Q}\right)
  3. Menyederhanakan pembuktian teorema terakhir fermat. Teorema terakhir fermat dibuktikan oleh wiles setebal 109 halaman. Dengan BSD maka hanya dibutuhkan mungkin paling banyak 10 halaman
  4. Menjawab hipotesis riemann?? beberapa matematikwan meyakini bsd merupakan kunci untuk memecahkan hipotesis riemann, sebelum kita memecahkan hipotesis riemann kita harus memecahkan bsd terlebih dahulu.

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**
y^{2}=x^{3}+ax+b
Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in millennium problem and tagged , , , . Bookmark the permalink.

3 Responses to Dugaan Birch dan Swinnerton-Dyer

  1. Habis baca artikel ini, kepala saya jadi pusing…

  2. Damar says:

    Kok kepala saya terasa muncul bintang-bintang gitu ya, setelah membaca tulisan ini!!

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s