Persamaan Navier-Stokes dan eksistensi Solusi Yang lembut

Pertama-tama saya mengucapkan selamat tahun baru untuk kita semua. Semoga tahun ini kita bisa lebih baik dari tahun sebelumnya. Kali ini saya mau kembali membahas salah-satu masalah pada Millennium Problem yang bernama Persamaan Navier-Stokes dan eksistensi Solusi Yang lembut.

Persamaan Navier-Stokes

Persamaan Navier-stokes (PNS) adalah sistem persamaan differensial non-linier yang mendeskripsikan bagaimana fluida mengalir. Apa itu fluida? Fluida adalah subtansi yang bisa mengalir seperti gas atau air.  PNS bisa menjawab pertanyaan-pertanyaan keren tetang kehidupan sehari-hari seperti bagaimana pesawat bisa terbang?atau Berapa waktu yang dibutuhkan secangkir kopi yang diaduk untuk menjadi tenang?

Diberikan vektor kecepatan dalam dimensi 3, u\left(x,t\right) dan skalar tekanan pressure, p\left(x,t\right)\in\mathbb{R}, dengan x\in\mathbb{R}^{3} dan t\geq0, PNS dirumuskan sebagai berikut:

(1) {\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}u_{i}+\sum_{j-i}^{n}u_{j}\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}=v\triangle u_{i}-\frac{\partial p}{\partial x_{i}}+f_{i}\left(x,t\right)}

(2) {\displaystyle \nabla}u=0

Dengan kondisi awal

(3) u\left(x,0\right)=u^{0}\left(x\right)

Disini u^{0}\left(x\right) adalah vektor kecepatan yang halus yang telah diketahui. f_{i}\left(x,t\right) adalah gaya eksternal yang diketahui semisal gravitasi. v adalah koefisien positif dari kekentalan viscosity. Persamaan (1) sebenarnya hanyalah  hukum newton f=ma pada elemen fluida yang tergantung dari gaya eksternal, gaya gesek dan gaya tekan. Persamaan (2) hanya mengatakan bahwa fluida tersebut mampat incompressible, artinya fluida tersebut mempunyai densitas yang sama disetiap titik meskiput pada kenyataannya tidak ada fluida yang benar2 mampat tapi untuk memudahkan perhitungan diasumsikan fluida tersbut mampat.

Jadi PNS merupakan medel matematika untuk medeskripsikan bagaimana fluida mengalir, untuk bisa mendeskripsikan aliran fluida PNS membutuhkan 2 hal informasi yaitu:

  1. Kekentalan  Fluida, kita tahu bahwa madu dan air mempunyai kekentalan yang berbeda, dalam fiska kekentalan adalah gaya gesek internal pada fluida
  2. Kondisi awal yaitu kecepatan fluida disetiap titik pada saat t=0 dan itu harus halus

Sampai detik ini para matematikawan tidak mengetahui apakah PNS selalu mempunyai solusi pada dimensi 3, dan jika solusi tersebut eksis maka solusi tersebut haruslah “halus”. Inilah yang diminta oleh Clay Math institute, mereka meminta kita untuk menjawab

Dalam dimensi 3 dan waktu. Diberikan vektor kecepatan awal yang halus, apakah akan selalu ada vektor kecapatan dan skalar tekanan yang keduanya halus, yang merupakan solusi dari PNS.

Eksistensi

Clay Math institute meminta kita untuk membuktikan solusi dari PNS itu ada, eksis. Kita tidak diminta untuk mencari solusinya tapi cukup membuktikan solusinya ada. Apa yang dimaksud  “solusi dari PNS”? Jika kita bisa menemukan solusi dari PNS artinya kita bisa mengetahui secara pasti tekanan dan kecepatan fluida di titik manapun di waktu kapanpun pada massa depan.

Yang harus diperhatikan adalah masalah tersenut adalah abstarak, kita tidak bisa mengambil suatu fluida lalu membuktikan solusinya eksis. Kita harus membuktikan bahwa solusi PNS eksis untuk SEBARANG kekentalan, untuk SEBARANG kondisi awal yang diberikan. Inilah yang membuat masalah ini sulit dipecahkan.

Kehalusan

Dari tadi saya udah nyebut-nyebut kata “halus”. Dalam matematika suatu fungsi dikatakan halus jika kontinyu dan terturun pada suatu domian. Dalam kacamata fisika hal ini bertujuan agar setiap titik pada fluida mempunyai energi terbatas, mempunyai kecepatan dan tekanan yang terbatasa pula. Jadi selain harus membuktikan solusi PNS eksis, kita juga hatus membuktikan solusi juga halus tapi karena disyaratkan kondisi awalnya halus maka dengan sendirinya solusinya (jika ada) akan halus.

Counter Example

Bagaimana kalao kita yakin bahwa PNS tidak mempunyai solusi. Mudah saja kita tinggal ambil suatu fluida, (cukup satu macam saja) dengan nilai kekentalan tertentu dan kondisi awal tertentu lalu tunjukan bahwa fluida tersebut tidak mempunyai solusi. Jika kita sanggup menunjukan ada satu fluida yang tidak mempunyai solusi PNS maka kita telah memecahkan masalah ini, dan kita dapet 1juta US$, asyik makan2 :mrgreen:

Untuk membuat masalah ini lebih mudah, pihak Clay Math institute mengijinkan kita mengambil gaya eksternal sebesar nol (f_{i}\left(x,t\right)=0)

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in millennium problem and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

9 Responses to Persamaan Navier-Stokes dan eksistensi Solusi Yang lembut

  1. nasikin says:

    mas ada gk contoh soal dan penyelesaiannya??

  2. Terima kasih atas informasinya, ngomong-ngomong, apakah anda tahu cara pembuktian persamaan Stokes dengan F=0?

  3. nur indri astutik says:

    ingin banget bergabung dengan blok mtk

  4. Fitri says:

    Aslm maz..bisa bntuin jelasin asal muasalx persamaan navier stokes g?msalahnya q msih bgung dari mana munculnya. Di tempatq bku referensinya jg g ada.tolong ya maz.mksh byk sblumnya.

  5. Saili Ulfa says:

    Aslm,
    Terima kasih atas info ttg Navier Stokes..
    sebenarnya saya ingin lebih mengenal lebih dalam lagi ttg Navier Stokes sbg bahan TA saya. Nah.. Mas Aria kan alumni Math UGM ni, Kira-kira di perpus UGM ini ada gak buku yg mengupas tuntas ttg PD Navier Stokes ini,,???

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s