Bilangan hyperreal dan non standard analisis

Jujur saya tidak menyukai analisis, saya merasa mual dengan konsep epsilon delta yang merupakan fondasi dari analisis. Menurut saya konsep epsilon delta adalah konsep yang rumit, njelimet, dan amat sulit untuk dipahami. Saya butuh waktu 4 semester untuk memahami definisi formal limit, untuk sebarang epsilon terdapat delta sehingga bla-bala..damn timbul rasa mual setiap kali membaca definis formal limit. Prof Widodo pernah berkata banyak lulusan matematika yang tidak paham definisi limit. Padahal kalau kita melihat sejarah, Newton dan Leibnitz sang penemu kalkulus pada abad ke 17 sama sekali tidak menggunakan epsilon delta. Mereka menggunakan konsep bilangan teramat kecil (disebut bilangan infinitesimal) sebagai dasar dari kalkulus. Nah barulah pada abad ke-19 muncullah konsep epsilon delta menggantikan konsep bilangan infitisimal sebagai dasar dari kalkulus dan analisis. Saat itu para matematikan beralasan konsep epsilon delta lebih kuat lebih tegas dibanding konsep bilangan Infitismal, padahal sebenarnya mereka tidak mampu mengembangkan konsep bilangan infitismal. Untungnya pada tahun 1970, ada seorang Matematikan Abraham Robinson yang mampu mengembangkan konsep bilangan infitismal, konsep asli dari newton dan Leibnitz maka muncullah cabang baru dari Matematika yang dikenal dengan Non Standard Analisis (NSA). NSA dan Analisis sama-sama membahas kalkulus, turunan , integral dan kawan-kawannya bedanya NSA berdasarkan bilangan infitismal, sedangkan Analisis berdasarkan epsilon-delta.

Bilangan Hyperreal

Diatas saya telah menyinggung mengenai bilangan infitisimal, apa kah bilangan infitisimal itu?

Definisi 1: x dikatakan infitisimal jika -r<x<r, untuk semua r bilangan real tak nol

Dalam bilangan real hanya nol yang memenuhi definisi dari infitisimal. Oleh karena itu perlu diciptakan himpunan bilangan baru yang disebut himpunan bilangan hyperreal (dinotasikan \Re*) agar ada bilangan-bilangan infitismal lain  selain nol. Himpunan bilangan hyperreal merupakan perluasan dari himpunan bilangan real atau dengan kata lain himpunan bilangan real termuat didalam himpunan bilangan hyperreal ( \mathbb{R}\subset\Re*). Sama seperti himpunan bilangan real, himpunan bilanag hyperreal juga merupakan lapangan terurut lengkap ( complete ordered field) bedanya pada himpunan bilangan hyperreal tidak berlaku sifat archimedean.

selain bilangan infitisimal, himpunan bilangan hyperreal juga memuat 2 jenis bilangan lain yaitu

Definisi 2: Suatu elemen  x\in\Re* dikatakan

1. Berhingga jika \left|x\right|<r untuk suatu bilangan real r

2. tak berhingga jika jika \left|x\right|>r untuk ssemua bilangan real r

Terdapat hubungan bilangan hyperreal dengan bilangan real yang dinamakan standard part

Definisi 3: Diberikan bilangan hyper real a, standard part dari a adalah suatu bilangan real yang sangat dekat sekali (infinitely close), dinotasikan st(a). Jika a adalah tak hingga maka maka st(a) tidak terdefinisi dan jika a adalah infitisimal maka st(a)=0

Nah..apa yang dimaksud dengan “sangat dekat sekali” (infinitely close),

Definisi 4: Dua buah bilangan hyperreal x dan y dikatakan sangat dekat sekali (infinitely close), dinotasikan x\approx y jika x-y adalah bilangan infitisimal. Jika x merupakan infitismal maka x\approx 0.

***

Nah..kita telah memebahas sekilas mengenai bilangan hyperreal. Sekarang mari kita lihat definis limit, dan turunan pada NSA.

Limit

Pada NSA, \lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=L didefinisikan

jika x\approx a maka f(x)\approx L

Dengan kata lain jika x sangat dekat sekali ke a maka f(x) sangat dekat sekali ke L. Nah sekarang bandingkan definisi limit pada analisis

untuk sebarang bilangan real \epsilon>0 (\epsilon dibaca epsilon) maka  terdapat bilangan real  \delta>0 (\delta dibaca delta) dimana 0<|x-a|<\delta yang berakibat  |f(x)-L|<\epsilon

Jelas definisi limit pada NSA jauh lebih singkat, jauh lebih mudah dipahami dibandingkan definisi pada Analisis. Definisi limit pada NSA sesui dengan pemahaman limit secara intuisi. Bukan kah waktu sma kita diajarkan pengertian limit itu jika x mendekati a maka f(x) mendekati L

Turunan

Kita tahu turunan suatu fungsi real f di a adalah gradien garis singung dititik  (a,f(a)). Dalam NSA, turunan fungsi real f di a,(dinotasikan f'(a)), didefinisikan

{\displaystyle f'\left(a\right)=st\left(\frac{f(a+\triangle x)-f\left(a\right)}{\triangle x}\right)}

untuk setiap bilangan infitisimal tak nol \triangle x.

Jadi menurut NSA, gradien garis yang melaui titik (a,f(a) adalah suatu bilangan real yang teramat dekat sekali dengan gradien garis yang melalui titik  (a,f(a) dan (a+\triangle x,f(a+\triangle x) dan kedua titik terebut jaraknya juga teramat dekat sekali. Inilah sebenarnya. Inilah sebenarnya konsep asli turunan yang dikembangkan oleh Newton dan Leibnitz.

Penutup

Saya baru seminggu mempelajari NSA. Sejauh apa yang saya pahami NSA dengan konsep bilangan infitisimalnya jauh lebih mudah dipahami, jauh lebih “membumi” dibandingkan  analisis dengan konsep epsilon-deltanya. Referensi penulisan ini diambil dari buku Foundations of Infinitesimal Calculus oleh H. Jerome Keisler, silahkan kalian unduh gratis.


Gambar diambil dari http://www.fallingfifth.com/blog/

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**
Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

22 Responses to Bilangan hyperreal dan non standard analisis

  1. zakiah says:

    jadi secara bahasa,, apa sih epsilon delta itu,, kenapa dipke di pembuktian f(x) mendekati L jika limit x mendekati c,,

  2. syef says:

    waaah,,,sangat sederhana dan dengan mempelajari NSA bisa menjembatani pemahaman teorema limit yang pakai epsilon dan delta,,,dulunya sih hanya dihapal aja,abis nggak ngerti apa guna epsilon dan delta kurang dari 0….dengan adanya ulangan NSA diblog ini bisa jadi mudah apa tujuan dan maksud epsilon dan delta,,,,semangat pak,saya dukung semiga bapak tetap eksis membuta tulisan2 statistik yang lainnya…

  3. Eran kyas says:

    Perbedaan pertama NSA dgn analysis biasa,pada NSA,turunan tdk bergantung limit..:D

  4. Eran kyas says:

    Wew…berarti konsep turunan ga bergantung pada konsep limit ya?

    • Aria Turns says:

      Mungkin lebih tepatnya tanpa epsilon-delta, karena dalam analisis, yang namanya limit pastilah ada epsilon-delta, sedangkan di NSA epsilon-delta diganti oleh bilangan hypereal

  5. Herry Pribawanto S says:

    Wah kurang tahu peminatnya banyak atau ga.. Kalau dugaan sy sih ga banyak,hehehe… Ya kembali lagi ke masalah minat, kita masih belajar logika sejauh untuk keperluan kita saja..

  6. Anwar Mutaqin says:

    Ini tulisannya pak Soehakso mengutip pernyataan Abraham Robinson, “…basis dari analisis nonstandar (dan teori model pada logika matematika umumnya) adalah adanya dikotomi konseptual dari struktur matematika di satu pihak dan dari lain pihak bahasa yang diperlukan untuk dapat berbicara tentang struktur itu.” Ini berarti logika di kurikulum yang disebutkan Herry memang tidak cukup untuk belajar NSA.

    Oh ya, kalo di S2 UGM ada mata kuliah “foundation of math” ada peminatnya ga ya?

  7. Herry Pribawanto S says:

    wah sy ga sanggup kalo bikin paper kaya gitu, soalnya diasumsikan hrs memahami n menguasai analisis maupun NSA secara utuh. Paling ga ngerti jalan cerita keduanya secara komprehensif. Sekarang mendalami sebagian kecil dr analisis aja udah pusing tujuh keliling, hehehe… Semoga ada pakarnya yg menulis paper seperti itu

  8. Aria Turns says:

    ya udah mas kalo masih penasaran bikin aja peper yg bandingin analisis dan NSA, kayaknya belum pernah ada yg nulis dech..

  9. Herry Pribawanto S says:

    Kalo menurut sy tdk hanya NSA yg memerlukan logika yg kuat, tp semua cabang matematika juga memerlukan logika yg kuat, hehe… Kurikulum logika dan himpunan sekarang di undergraduate kebanyakan didesain hanya untuk kebutuhan mendasari matakuliah2 yg lain seperti kalkulus, aljabar linear, dsb tdk untuk mempelajari logika itu sendiri scr dalam. Tp seingat sy di s2 mat ugm ada matakuliah pilihan “foundation of math”.

    Sekali lg sy msh penasaran apakah NSA memang “lebih baik” dibanding analisis ditinjau dr berbagai aspek. Kalau tentang PD Stokastik kan ujung2nya jg berfondasi pd teori ukuran dan integral, dan msh berbasis analisis (standar).

    Hikmah dr cerita NSA dan integral Henstock di atas:
    “barang yang bagus belum tentu laku di pasaran”
    tanya kenapa???

  10. @Herry
    Katanya sih, NSA belum berkembang di Indonesia karena memerlukan logika yang kuat, padahal banyak jurusan matematika di kita yang tidak lagi mengajarkan mata kuliah logika secara khusus. Mahasiswa matematika banyak yang tidak mempelajari logika, malah logika sekarang diambil alih oleh computer science. Saya juga pernah tanya pak Oki tentang hal ini. Pak Oki bilang memang tidak ada peminat, analisis saja sedikit peminatnya apalagi NSA.

    Lain lagi kata Pak Yudi Soeharyadi, dia bilang NSA sekarang dah standar kok. Mungkin krn Pak Yudi lebih fokus ke Persamaan diferensial Stokastik.

    • Aria Turns says:

      malah logika sekarang diambil alih oleh computer science

      Setubuh..eh setuju, banyak orang kalau mendengar kata logika pasti berpikiran tentang logika algoritma/ logika pemerogamannya ilmu kompeter, padahal logika merupakan core dari matematika

  11. Herry Pribawanto S says:

    Tentu kita bertanya knp NSA tdk (blm) populer di Indonesia? Nah sy cuma mau numpang cerita saja di sini.

    Hal serupa terjadi pd kasus teori integral, khususnya integral Henstock. Kita ketahui integral Henstock jenis integral yg memuat integral Riemann dan juga integral Lebesgue. Jadi suatu integral yg powerful. Keuntungannya adalah dia didefinisikan serupa dgn integral Riemann, tdk seperti integral Lebesgue yg memerlukan teori ukuran yg relatif sukar. Jadi sangat logis kalau sdh selayaknya integral Henstock diajarkan menggantikan integral Lebesgue. Kenyataannya tdk demikian, integral Lebesgue beserta teori ukurannya tetap berjaya di dalam kurikulum matematika di banyak universitas di dunia. Tentu saja ada beberapa alasan, salah satunya alasan historis. Alasan lainnya adalah integral Lebesgue lebih mudah diperumum atau dikembangkan ke ruang2 abstrak dibanding integral Henstock. Mungkin ada alasan2 lain juga. Teringat hal ini sy muncul pertanyaan apakah NSA benar-benar “lebih baik” daripada analisis ditinjau dr berbagai aspek?

    Kita bersyukur di Indonesia ada Prof. Soeparna Darmawidjaya, Dr. Ch. Rini Indrati, dkk yang sangat concern dan giat mengembangkan dan mempopulerkan integral Henstock. Kembali ke masalah semula, siapa matematikawan di Indonesia yang mau dgn serius concern dan giat mengembangkan NSA? Siapa yang hendak memulai? Terlepas dr hal itu sy salut kepada mas Aria krn paling tdk sdh mau menulis ttg NSA dan mengenalkannya kpd kita semua.

    • Aria Turns says:

      Huahaha…saya nyerah dech mas, kalo soal integral. Jadi inget dl Bu Rini pernah ngobrol ama saya tentang integral Henstock, keunggulannya dibanding integral2 yang lain, saat itu saya ngangguk2 aja padahal ora mudheng..

  12. Anwar Mutaqin says:

    Salam kenal dari saya. Bilangan hyperreal yang dibahas di sini masih bersifat intuisi juga. Ada baiknya dilanjutkan dengan mengkonstruk bilangan hyperreal melalui barisan cauchy. Makasih.

    • Aria Turns says:

      Mmm..usulan yang menarik bisa jadi bahan skripsi tuch. Non standard Analysis tidak mengenal konsep basisan, kekonvergenan barisan. Konsep tersebut ada dikarenakan sifat archimedean pada bilangan Real. Sedangkan kita tahu bilangan hyperreal tidak berlaku sifat tersebut. Akan menarik jika ada orang yang mampu mengkontruksikan barisan pafa hyperreal

      • Anwar Mutaqin says:

        Maksud saya, bilangan hyperreal itu dikonstruk dari bilangan real menggunakan barisan cauchy, seperti halnya mengkonstruk bilangan real dari bilangan rasional. Saya kira itu topik yg menarik utk skripsi dn jarang sekali mhsw atau bhkn dosen yg mengenal NSA. Pak Soehakso dulu mengeluhkan jg sedikitnya dosen yg mau mendalami NSA. Memang harus menguasai logika dgn baik.

      • Aria Turns says:

        Mmm…sepertinya sulit karna NSA dan analisis mempunyai dasar Logika. Boleh dibilang NSA masih hal yang asing bagi dunia matematika Indonesia. Padahal NSA lebih “menjanjikan” dibanding analisis. Temen2 kita para fisikawan melai menngunakan NSA untuk memhami misteri alam semesta. IBM mulai mengembangkam metode numerik berbasis NSA, menurut IBM metode numerik berbasis NSA lebih efisien, memakan resource prosesor yang lebih rendah, lebih cepat, lebih presisi, dibandingkan yang berbasiskan Analisis. Saya punya keyakinan di masa depan NSA akan “mengalahkan” Analisis.

  13. Makasih Pak dah mampir ke blogku. Saya suka blog ini karena membahas matematika. 🙂 Btw, Saya baru tau teori di atas. Keseringan pake epsilon-delta dan Saya sukanya itu.

  14. Tututu says:

    Wah..sy jg pernah dgr konsep infinitesimal…
    Ternyata spt ini…definisi limit’y jauh lebih sederhana..
    Tp blm tau ke depan’y…
    😀

  15. Aria Turns says:

    Yup..without epsilon delta but with infinitesimal numbers

  16. zakimath says:

    Apakah konsep “Kalkulus Tanpa Epsilon-Delta” yang dimaksud itu seperti ini ya?

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s