Teorema tidak lengkap Godel

Di postingan saya sebelumnya ada yang minta membahas mengenai Teorema tidak lengkap Godel Gödel’s incompleteness theorems. Teorama terdiri atas 2 teorema yang dibuktikan oleh Godel matematikawan asal Austria pada tahun 1931di sini hanya menjelaskan apa itu Teorema tidak lengkap Godel, saya tidak menyertakan pembuktiannya.

tapi sebelumnya saya akan menjelaskan hal-hal sebagai berikut.

Aritmatika, Bahasa Formal, Sistem Formal

Pada awalnya Matematika hanya lah Ilmu Aritmatikia, Ilmu hitung, Pada awalnya orang hanya mengenal bilangan non-positif 0,1,2,3,4,5…. yang dilengkapi operasi penjumlahan, perkalian, pembagian, pengurangan yang digunakan untuk kebutuhan sehari-hari seperti berdagang, atau menghitung luas sebidang tanah. Waktu SD yang pertama kali kita pelajari mengenai Matematika adalah Aritmatika, kita belajar penjumlahan, perkalian, pembagian. Meskipun tampaknya sederhana tapi masih banyak masalah-masalah aritmatika yang belum terjawab seperti twin prime, konjekture Goldbach, konjekture Collatz, bahkan Hipotesis Riemann termasuk masalah aritmatika yang belum terjawab

***

Banyak yang bilang Matematika adalah bahasa, bahasa yang penuh simbol dan boleh dibilang cukup sulit dipahami oleh orang awam, misalkan saja saya menulis sebagai berikut

(\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0)\;0<|x-c|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon

Hayo apa artinya? Itu adalah definisi limit jika ditulis dalam bahasa matematika, kita sebut saja bahasa Matematika ini sebagai bahasa Formal yaitu sekumpulan simbol-simbol dasar,

Jika kita telah men set-up suatu bahas formal L maka barulah kita bisa mengkontruksikan sistem formal S dengan cara menentukan kalimat-kalimat L mana saja yang termasuk aksioma dan dilengkapi dengan aturan-aturan penjelasan rules of reasioning. Suatu kalimat A di S dikatakan dapat dibuktikan provable di S jika terdapat penjelasan-penjelasan terbatas di S yang berakhir di S. Sutau sistem formal S dikatakan konsisten jika tidak ada kalimat A dimana A dan tidak A sama-sama terbukti di S,  Suatu sistem formal dikatakan lengkap jika untuk semua kalimat A di S hanya berlaku salah satu A terbukti di S atau tidak A terbukti di S.

Contoh-contoh sistem formal di Matematika adalah Aritmatika itu sendiri, teori Grup, Topologi, Geometry Euclid, dan banyak lainnya. Hampir semua sistem formal di Matematika mempunyai bahasa formal yang berbeda atau dengan kata lain mempunyai simbol-simbol dasar yang berbeda.

Nah..sekarang baru saya akan menuliskan 2 teorema tidak lengkap Godel

Teorema tidak lengkap yang pertama

Jika suatu sistem formal S yang memuat bahasa formal dari aritmatika dan S konsisten maka terdapat kalimat aritmatika A yang bernilai benar tapi tidak dapat dibuktikan di S

Teorema tidak lengkap yang ke dua

Jika suatu sistem formal S yang memuat bahasa formal dari aritmatika dan S konsisten maka kekonsistenan S tidak terbukti di S

***

Banyak orang yang salah paham yang beranggapan bahwa ke-dua teorema Godel berlaku ke semua sistem Formal di Matematika, itu tidak tepat, teorema Godel hanya berlaku kepada sistem formal yang memuat bahasa aritmatika dan bisa juga berlaku ke sistem formal yang objek bisa direpresentasikan sebagai bilangan asli. Jika suatu kalimat  A tidak terbukti di sistem formal S belum tentu A tidak dapat dibuktikan sama-sekali bisa jadi A bisa di buktikan olah sistem formal yang lain. Sebagai contoh teorema terakhir Fermat yang merupakan masalah aritmatis yang tidak bisa dibuktikan di secara aritmatis tapi dapat di buktikan dengan sistem formal yang jauh berbeda dari Aritmatis.

Apa Maksud dari Teorema Godel

Teorema Godel mengatakan bahwa mustahil kita mengkontruksikan sistem formal aritmatika dan sistem formal yang memuat aritmatika yang lengkap. Teorema ini juga menunjukan bawha bisa saja twin prime, konjekture Goldbach, konjekture Collatz, hipotesiss Riemann yang diyakini kebenarannya tidak akan pernah bisa terbuktikan. Bahwa Matematika itu terbatas, bahwa mustahil membuat sistem matematika yang benar-benar sempurna yang bisa menjawab semua masalah didalamnya, Teorema ini menunjukan bahwa ada sesuatu yang diyakini benar tapi tidak bisa  atau tepatnya belum bisa dijelaskan oleh logika. Teorema inilah yang membuat Sthephen Hawking berpikiran mustahil untuk membuat Teori Segala (Theory of Everything) teori tunggal yang menjelasakan alam semesta ,Secara Filsafat teorema ini menunjukan bahwa akal manusia itu terbatas

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Logika and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

4 Responses to Teorema tidak lengkap Godel

  1. Akmal says:

    Yth. Mas Aria
    Saya pernah membaca tulisan yang redaksionalnya begini: “After Cantor mathematics has never been the same”.
    Apa sih maksudnya mas? Apakah ini berarti bahwa matematika berubah wajah terus sejak Cantor ngajar matematika atau gimana ya? Tentu saja saya bisa googling, tapi biasalah bahasa yang dipakai ruwet, susah ngertinya. Mana English saya kaya (maksudnya kaya dengan kekurangan).
    Thanks.

  2. Akmal says:

    ELEMENT, Book I, Definition 3. Thanks

  3. Akmal says:

    Komentar saya singkat saja, mas. Upaya anda saya akui luar-biasa.
    Ngomong-ngomong format tulisan anda simple dan mudah dimengerti, gak kayak tulisannya orang-orang hebat semacam Charles Seifer ya? Mereka suka pake “bunga-bunga” jadi sulit dimengerti.
    Saya benar-benar paham betapa sulitnya mempelajari matematika, tapi “menerjemahkan” matematika seribu kali lebih susah. Saya jadi teringat kepada dua orang, yang satu kalo gak salah John Kemeny, dan yang lainnya Von Neuwman. Salah satu di antara mereka ini (saya lupa yang mana) sanggup menjelaskan dengan baik kalkulus tingkat lanjut kepada anak SD. Tidaklah berlebihan jika saya berharap hal yang sama saya jumpai di blog ini, meski belum sekarang namun mungkin di masa yang akan datang.
    Sebelum saya lupa, saya minta tolong (boleh kan?) kalo mas ada waktu mohon kasih penjelasan tentang karya tulis Euclid. Terima kasih sebelumnya.
    Selamat lho mas. Semoga sukses.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s