Diagonal Cantor

Jika ada orang yang bertanya ke kamu

Mana yang mempunyai elemen yang lebih banyak I=\left(0,1\right) atau kah \mathbb{R} himpunan semua bilangan real?

Seara, intuisis, secara logika terlihat jelas bahwa himpunan semua bilangan real tentu saja lebih banyak dibanding interval 0 dan 1 tapi bagaimana kalau saya bilang bahwa I dan \mathbb{R} memepunyai elemen yang sama banyaknya atau dinotasikan |I|=|\mathbb{R}|. Tidak masuk akal bukan massa interval 0 dan 1 memepunyai elemen yang sama banyak dengan himpunan semua bilangan real.

Mari saya jelaskan., pertama-tama saya akan menunjukan bahwa |I|>|\mathbb{N}|. Interval I mempunyai elemen yang lebih banyak dari himpunan semua bilangan asli?

Bagaimana cara menunjukannya, apakah dihitung satu-satu elemennya?

Tentu saja tidak, Di Matematika untuk menunjukan himpunan A lebih besar dari B dengan cara menunjukan tidak ada fungsi bijektif dari A ke B, nah sekarang pertanyaannya

Bagaimana cara menunjukan tidak ada fungsi bijektif dari \mathbb{N} ke I ?

Tentu saja kita tidak mungkin memeriksa satu-satu semua fungsi yanga ada, Nah..untuk menunjukannya Cantor menggunakan suatu metode yang dikenal sebagai Diagonal Cantor.  Kita tahu bahwa semua bilangan di I memepunyai bentuk umum 0.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots dimana a_{i}=\left\{ 0,1,2,3,44,5,6,7,8,9\right\} contohnya 0,346346376457…. dan 0,999999…=1.

Sekarang kita andaikan  saja ada  fungsi bijekif G:\mathbb{N}\rightarrow I akan kita tunjukan bahwa hal tersebut mustahil

Misalkan fungsi G ini memetakan

\begin{array}{ccc}1 & \rightarrow & 0.a_{11}a_{12}a_{13}\ldots\\2 & \rightarrow & 0.a_{21}a_{22}a_{23}\ldots\\3 & \rightarrow & 0.a_{31}a_{32}a_{33}\ldots\\4 & \rightarrow & 0.a_{41}a_{42}a_{43}\ldots\\\vdots & \vdots & \vdots\end{array}

Karena fungsi G bijektif maka haruslah semua bilangan di I muncul pada list diatas tapi jika kita bisa mengkontruksikan suatu bilangan pada I yang tidak termuat di list maka kira telah menunjukan bahwa fungsi G mustahil untuk ada

Bagaimana mengkontruksikan bilangan tersebut?

Ambil, b_{1}\in\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\right\}   dimana b_{1}\neq a_{11} ; b_{2}\in\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\right\} dimana b_{2}\neq a_{22} ; b_{3}\in\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\right\} dimana b_{3}\neq a_{33} dan begitu seterusnya. maka terbentuk bilangan b=0,b_{1}b_{2}b_{3}\ldots, jelas bahwa b\in I. Karena G bijektif maka ada suatu n\in\mathbb{N} dimana

G\left(n\right)=b

0,a_{n1}a_{n2}a_{n3}=0,b_{1}b_{2}b_{3}\ldots

padahal menurut kontruksi a_{nn}\neq b_{n}, itu berarti kesaamaan diatas adalah mustahil, dengan kata lain b diluar dari list, b diluar dari daerah hasil /image G padahal G bijektif yang mengharuskan semua elemen di I berada didalan image G,  Ini artinya fungsi bijektif G mustahil untuk ada. Sekarang barulah bisa kita simpulkan |I|>|\mathbb{N}|.

Berdasarkan hipotesis Continuum diperoleh |I|=|\mathbb{R}|

***

Kenapa diambil b_{n}\in\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\right\} ?

Untuk menghindari munculnya bilangan 0,0000000… dan 0,9999999….

Kenapa disebut Diagonal Cantor?

Karna kita mengkontruksikan b berdasarkan elemen diagonal pada array di list

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Teori Bilangan and tagged , , , . Bookmark the permalink.

9 Responses to Diagonal Cantor

  1. suhendra says:

    sy yg masih awam dlm matematika msh sdikit pusing ne dngn kesimpulanx. bukankah semua himp bilangan pada interval (0,1) jg mrpkn bilangan real. menurut sy (0,1) hanya bagian kecil dari bilangan real.

    • Aria Turns says:

      Ya memang interval (0,1) hanya bagian kecil dari bilangan real tetapi interval (0,1) mempunyai ukuran sama besar dengan bilangfan Real, Mmm… ajaib bukan? Itulah Matematika

  2. Noviyenty says:

    bahwa b\in I. Karena G bijektif maka ada suatu n\in\mathbb{N}
    Kenapa diambil b_{n}\in\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\right\} ?

    mas, itu maksudnya \right\ n\ni\mathbb dan sebagainya itu apa ya? saya tidak mengerti maksudnya. tolong jelasin y mas ri. 🙂

  3. leotrim says:

    detyra me diagonale

  4. Andi Zulfikar Manuhutu says:

    I don’t think I agree with that.
    (0,1) hanya = (1,2)

  5. watchmath says:

    Untuk membuktikan $|I|=|\mathbb{R}|$ tidak perlu Continuum Hypothesis. Bijeksi bisa dikonstruksi dari fungsi tangent.

  6. anna says:

    matematika?? uhm sulit untuk dimengerti…
    pokok bahasan yang anda bahs seperti mat kul anlisis real tp sm skali g real menurutku… Awalnya ku jg bingung pas hrs membedakan mn yang lbh banyak mempunyai elemen antara himp bil real dan himp yg t’dr dr interval 1. tdnya saya pikir ya jawabnnya himp bil real tp setlh di bc lbh lanjut ternyata diantara interval 0-1 jg t’dpt elemen yang tak hingga banyakknya…

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s