tidak terbatas dimana pun

Sewaktu saya belajar analisis real, saya  menemukan suatu fungsi yang menarik, fungsi tersebut didefinisikan

g(x)=0 jika x irasional dan g(x)=n jika x rasional dan x=m/n dimana m dan n relative prima

Yang menarik dari fungsi diatas adalah fungsi tersebut tidak terbatas untuk sebarang interval I\subseteq\mathbb{R}. Kita tahu bahwa suatu fungsi f(x) dikatakan terbatas jika terdapat konstanta M dimana |f(x)|\leq M.

Nah untuk membuktikannya ambil sebarang a\in\mathbb{R} dan \epsilon>0 dibentuk interval I=\left[a-\epsilon,a+\epsilon\right] jika kita ambil \epsilon sangat kecil mendekati nol dan kita asumsikan g(x) terbatas pada interval I itu berarti penyebut n terbatas yang berakibat  jumlah bilangan rasional pada interval I juga terbatas, yang mana hal tersebut tidak mungkin.

***

Umumnya jika suatu fungsi mempunyai interval/domain yang sempit/terbatas maka fungsi tersebut akan terbatas tetapi disini saya telah menunjukan bahwa ada fungsi yang sesempit apapun intervalnya, fungsi tersebut tetap tidak terbatas

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

5 Responses to tidak terbatas dimana pun

  1. Aria Turns says:

    @watchmath
    ya..mungkin maksudnya si Mawi Wijna seperti itu, thanks udah ngelenkapi pembuktian ini

  2. watchmath says:

    Di bagian atas harusnya tertulis na'+(b'-a')/2=k/l.

    Untuk argumen Aria, meskipun (mungkin) obvious perlu disebutkan mengapa hanya ada berhingga banyaknya penyebut (di atas hanya dibilang ada berhingga banyaknya pembilang. Jika penyebutnya bisa tak berhingga banyaknya maka I tetap bisa mempunyai tak hingga banyaknya bilangan rasional).

  3. watchmath says:

    Memodifikasi sedikit argumen mawi Wijna. Interval I pasti mempunyai dua bilangan rasional yang berbeda a'<b'.
    Sekarang a'+\frac{b'-a'}{2n} merupakan bilangan rasional di I untuk setiap n. Tulis (b'-a')/2=k/l dalam bentuk paling sederhana. Jelas ada tak berhingga banyaknya n yang relatif prima terhadap k. Kesimpulan mengikuti.

  4. Aria Turns says:

    @ mawi Wijna
    Kayaknya kamu salah dech misalkan kita ambil interval
    A=[3,4]
    maka diperoleh
    y=ceil(3+(4/2-3/2))/n
    y=ceil(3,5)/n=4/n
    kamu sendiri bilang kalau n itu sebarang bilangan asli, kalau kita ambil n sangat besar maka jelas y\notin A

  5. mawi wijna says:

    pembuktian kok agak aneh ya? boleh saya coba buktiin ga?

    Misal diambil sebarang interval I = [a, b] dengan a <= b. Akan ditunjukkan untuk sebarang bilangan asli n, selalu terdapat y elemen di I sehingga y = m/n untuk suatu bilangan bulat m.

    Misalkan dibentuk y = ceil(a + (b/2 – a/2)) / n,
    dengan ceil(x) adalah bilangan bulat terkecil yang merupakan pembulatan ke atas dari bilangan real x. Dengan demikian y merupakan elemen I. Akibatnya Himpunan {g(x)| x bilangan rasional} tidak terbatas.

    CMIIW

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s