Himpunan persekitaran dan titik limit

Untuk membantu memudahkan memahami definisi limit fungsi yang saya bahas kemarin maka kali ini saya akan membahas mengenai himpunan persekitaran dan titik limit

Himpunan Persekitaran

Diberikan himpunan A, untuk sebarang x\in A dan konstanta real positif r, himpunan

{\displaystyle N_{r}(x)=\left\{ a\in A;\:|x-a|<r\right\} }

disebut himpunan persekitaran dari titik x dengan jari-jari/radius r. Untuk memahaminya pehatikan gambar berikut

persekitaran

Ambil titik x di A dan bilangan positif r sebgai jari-jari/radius dari x maka akan terbentuk kumpulan titik-titik didalam radius r, nah kumpulan titik-titik tersebutlah yang dinamakan himpunan persekitaran dinotasikan {\displaystyle N_{r}(x)}  dan titiknya sendiri dinamakan titik persekitaran

Titik Limit

Definisi dari titik limit adalah untuk setiap bilangan real r>0 berlaku

{\displaystyle N_{r}(x)\cap A-\{x\}\neq\emptyset}

Perhatikan kembali gambar, titik x pada gambar termasuk titik limit, kenapa bisa begitu? Karena jika mengeluarkan x maka tetep saja himpunan {\displaystyle N_{r}(x)} mempunyai anggota {\displaystyle N_{r}(x)\neq\emptyset} dan {\displaystyle N_{r}(x)\subset A} atau dengan kata lain {\displaystyle N_{r}(x)\cap A=N_{r}(x)} jadi bisa kita simpulkan {\displaystyle N_{r}(x)\cap A-\{x\}\neq\emptyset}

Sekarang kembali lagi bahas limit fungsi

{\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=L}

berdasarkan definisi limit dan apa yang kita bahas diatas, maka f(x) adalah titik limit di himpunan hasil/image f(x) dan L adalah titik persekitaran dari f(x) begitu juga dengan a adalah titik limit dari himpunan awal/domain dan x adalah titik persekitaran dari a. Jika kita bisa menemukan relasi/hubungan antara \epsilon jari-jari himpunan persekitaran f(x) dengan \delta jari-jari himpunan persekitaran a maka {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=L} bernilai benar

 

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**


Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis, kalkulus and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

25 Responses to Himpunan persekitaran dan titik limit

  1. krista says:

    Tolong bantu,, apa perbedaan cluster point dengan command point?

  2. Slamet says:

    ada kesalahan mas,diruang metriks
    himpunan yg mempunyai 2 titik limit dan 3 titik limit,misalnya apa saja makasih

  3. Bolang says:

    seumpama kita menginginkan himpunan yang mempunyai 3 limit gmn ya…??? tolong pencerahannya.. Thankss…

  4. Slamet says:

    Assalamualaikum
    Contoh himpunan yang mempunyai 2 titik lilit dan 3 titik limit di ruang topologi
    makasih

  5. muharini says:

    Mungkin kita perlu lebih cermat dalam mendefinisikan titik limit, karena skenario titik limit menyangkut hubungan antara suatu himpunan dan suatu titik di suatu ruang metrik. Titik tersebut boleh jadi termuat di himpunan tersebut, namun boleh jadi berada di luar himpunan tersebut. Hal ini penting, karena konsep titik limit akan menuntun kita kepada definisi himpunan tertutup.

  6. Lukman gaffar says:

    Ass,,,,mas sy dah liat dan pelajari pembuktian dari kedua teorema diatas tp sy msh agak bingung dgn pembuktianx,mhn penjelasanx mas klo ga keberatan.
    Pertanyaan sy berikutx adalah:
    1. Apa kunci utama dlm penentuan cluster/limit point? Misalkan : (0,1) dan [0,1] koq bisa limit pointx sama yaitu 0 dan 1?
    2. Bgm menentukan boundary point dr sebuah himpunan (dlm ruang metrik)? Misalkan (0,1) dan [0,1] koq bisa booundary p[opintx sama 0 dan 1? pdhl yyg sy pahami bhw boundary point jika setiap persekitaran memuat titik2 dlm himpunanx dan komplemen himpunanx?
    mhn penjelasanx…………..makasih sebelumx,,,

  7. Lukman gaffar says:

    Theorem 1: a subset of R is open if and only if it is the union of countably many disjoint open intervals in R.

    Theorem 2: a subsetbof R is closed if and only if it contains all of its cluster points.

    Mohon bantuanx untuk membuktikan kedua teorema diatas,,terima kasih sebelumx

  8. Herry PS says:

    Kalau lebih umum lagi di ruang topologi, persekitaran dari x adalah sebarang himpunan yang memuat sebuah himpunan terbuka yang memuat x.

  9. anwar mutaqin says:

    Definisi persekitaran yang ditulis pada makalah ini klo di buku2 teks sebenarnya adalah definisi bola buka (open ball). Neighborhood suatu titik x biasanya didefinisikan (klo ga salah, bisa dicek di bukunya Bartle) sebagai kumpulan himpunan buka yang memuat x. Tp ga masalah juga sih klo definisinya sprt yg dah ditulis.
    @ agus s S subset dari R dan S={1/n : n Asli}U{1-1/n : n Asli} hanya mempunyai dua titik limit, yaitu 0 dan 1. silakan dibuktikan sndr.

  10. agus s says:

    contoh himpunan yang hanya menpunyai 2 titik limit apa ya???
    makasih??

  11. Aria Turns says:

    @watcmath]
    ya,ya saya sependapat dengan anda pentingnya quantifier “untuk setiap”. akan saya tambahkan terimakasih
    karena r berlaku untuk setiap real posititif jadi jika x titik limit di A maka ada y\in A,\, y\neq x berlaku y\in A\cap N_{r}(x). Oleh karena himpunan terbatas belum tentu mempunyai y dengan sifat tadi, jadi kesimpulan anada benar kalo secara umum himpunan berhingga di ruang metrik tidak mempunyai titik limit.

  12. watchmath says:

    Mungkin perlu sedikit ditambahkan. Misalkan kita di ruang metrik dan kita punya situasi pada gambar di atas.
    Misalkan anggota A digambarkan dengan kotak-kotak seperti di atas (dan tidak ada anggota lain). Dengan asumsi ini, x bukan titik limit karena kita bisa buat himpunan persekitaran dari x yang sangat kecil (katakan r/10^6) yang tidak memuat kotak-kotak selain x sendiri.

    Well, secara umum himpunan berhingga di ruang metrik tidak mempunyai titik limit.

  13. watchmath says:

    Tentang r>0 memang sudah dijelaskan yang terlewat itu quantifier “untuk setiap” dan ini sangat penting. Untuk menjadi titik limit, sekecil apapun kita buat himpunan persekitaran di sekitar x, kita selalu menemukan titik lain.

  14. Aria Turns says:

    @watchmath
    mm..iya sich lengkapnya emang harusnya seperti itu tapi kan saya sudah menjelaskkan di bagian himpunan persekitran kalo r itu jari-jari.radius jadinya harusnya positif

  15. watchmath says:

    Ada hal yg penting yg terlewat dari definisi titik limit di atas, yakni bahwa irisan N_r(x)\cap \left(A-\{x\}\right)\neq \empty untuk setiap r>0

    • Rizal says:

      mohon bantuannya untuk membuktikan teorema berikut mas:
      Diberikan Sistem dengan E⊂R^n. Jika terdapat fungsi Lyapunov V, dengan:
      1. E_k={x∈E∣V(x)≤k} untuk suatu k>0 merupakan himpunan terbatas.
      2. V ̇(x)≤0 untuk setiap x∈E_k , dan
      3. Terdapat M himpunan invarian terbesar dalam H={x∈E_k∣(V () ̇x)=0}, maka setiap solusi Sistem (7.1) x(t) menuju ke M untuk t→∞.

  16. Aria Turns says:

    @mawi wijna
    yup..itu di ruang metrik

  17. mawi wijna says:

    Nr(x), himpunan persekitaran dari titik x itu menggunakan metrik baku (standar) di R kan? Apakah ada metrik lain di R yang juga dapat membentuk suatu himpunan persekitaran. Tunggu dulu…artikel ini semestanya di R dengan metrik baku kan?

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s