kenapa turunan x^n adalah nx^(n-1) II

Ini masih lanjutan daei kenapa turunan x^n adalah nx^(n-1), pembuktian yag kemarin itu hanya berlaku untuk x^n dengan n bilangan asli. Nah..bagaimana kalo n -nya pecahan atau irasional? Pehatikan fumgsi dibawah :

y=x^{n}

ln\, y=ln\, x^{n}

ln\, y=n\, ln\, x

(Ingat, ln\, x^n=n\, ln\, x)

Sisis kiri dan sisi kanan kita turunkan diperoleh:

{\displaystyle \frac{1}{y}dy=n\frac{1}{x}dx}

{\displaystyle \frac{dy}{dx}=n\frac{y}{x}=n\frac{x^{n}}{x}}

Akhirnya kita dapat

{\displaystyle \frac{dy}{dx}=nx^{n-1}}

Tapi pembuktian diatas hanya berlaku untuk n positif, bagaimana kalo n -nya negatif? Kita tahu bahwa 1=x^nx^{-n} diperoleh

{\displaystyle \frac{d(1)}{dx}=\frac{d(x^{n}x^{-n})}{dx}}

dengan menggunakan aturan hasil kali dalam turunan didapat

{\displaystyle 0=nx^{n-1}x^{-n}+x^{n}\frac{d(x^{-n})}{dx}}

{\displaystyle 0=\frac{n}{x}+x^{n}\frac{d(x^{-n})}{dx}}

{\displaystyle \frac{d(x^{-n})}{dx}=-\frac{1}{x^{n}}\frac{n}{x}}

Akhirnya diperoleh

{\displaystyle \frac{d(x^{-n})}{dx}=-nx^{-n-1}}

Nah..barulah kita simpulkan \frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1} berlaku untuk semua n bilangan real

qed

 

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in kalkulus, pembuktian and tagged , , , . Bookmark the permalink.

10 Responses to kenapa turunan x^n adalah nx^(n-1) II

  1. wah dahsyat rumusnya šŸ™‚

    Nitip ya :p
    TutorialCAD.Net
    Tempat belajar dan sumber tutorial untuk aplikasi CAD “Computer-aided design” (AutoCAD, DraftSight, Catia, Solidworks, Unigraphics NX, Pro/Engineer, Creo, Delcam, dll) beserta turunannya.

  2. Wawan Sofwan says:

    maksih bgt pakā€¦
    ini ngebantu sy buat presentasi mata kuliah analisis real..

  3. watchmath says:

    Pembuktian di atas berlaku hanya untuk x>0 karena fungsi ln x hanya terdefinisi untuk x>0

  4. hendry says:

    Oh, yeah… Thx.. om… šŸ˜€

  5. abas says:

    Makasih atas bantuannya. Tak coba kumpulin jawabannya dulu. Moga aja dosen saya berkenan, karena jawaban di atas masih mengandung nilai mutlak sin(x). Kayak2nya beliau pengin tahu nilai mutlak sin(x) itu dari mahasiswanya.

    Abas.

  6. Aria Turns says:

    @abas
    sebenernya nilai mutlak itu |u|=\sqrt{u^{2}}
    ambil fungsi
    f(u)=\sqrt{u^{2}}
    diturunkan diperoleh
    {\displaystyle f'(u)=\frac{u}{\sqrt{u^{2}}}u'=\frac{u}{|u|}u'}
    ganti u=sin(x) dan u'=cos(x) diperoleh
    {\displaystyle \frac{sin(x)}{|sin(x)|}cos(x)}

  7. hendry says:

    Nanya lagi donkx… Gak ada di buku kalkulusku sih soalnya: koq ln x diturunkan jadi (1/x)… Dari dulu bingung jawab soal itu juga nehh… hoho

  8. hendry says:

    Pemikiran tentang n negatif dan positif itu sangat briliant.. ^^

    Minta izinnnya lagi yach, spy artikel ini bisa ditulis di blog ak.. ^^

    Thx atas jawabannya yang sooo perfect.!!

  9. abas says:

    bagi infonya dong rumus nilai mutlak sin(x), saya ada tugas kalkulus untuk ngitung turunannya.

    makasih.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s