Hubungan bilangan Prima dan irasional

tadinya saya mau posting pembuktian \pi bilangan irasional, tapi ternyata pembuktinnya cukup rumit (saya aja ngerasa rumit apalagi kalian[sombong mode on] 😈 ) dan saya belum paham 100% oleh karna itu lebih baik saya  membahas hubungan bilangan prima dan irasional.

Bagaimana hubungannya? baik-baik saja haha.. 😀

just kidding..

Okey, kita semua pasti udah tau lah apa itu bilangan prima dan bilangan rasional mmm..saya yakin sebagaian besar dari kalian tahu apa itu bilangan irasioanal, buat yang belum tau bilangan irasional adalah bilangan bukan hasil dari pembagian 2 buah bilanngan bulat contoh bilangan irasional adalah

\pi, e, \sqrt{2}

Nah..sekarang apakah kalian tahu bahwa SEMUA bilangan prima kalo di akar-kan hasilnya adalah bilangan irasional?

Dengan kata lain \sqrt{p} adalah bilangan irasional, untuk p bilangan prima.

Bukti:

Utuk \sqrt{2} udah pernah saya buktikan disini

Biasanya untuk pembuktian bilangan irasional digunakan metode reductio de absurdum, yaitu diasumsikan sebaliknya dan dibuktikan bahwa asumsi tersebut salah

Diberikan p bilangan prima p\neq2

Diasumsilkan \sqrt{p} bilangan rasional artinya \sqrt{p}=a/b untuk a dan b bilangan bulat positif yang relatif prima (artinya fpb a dan b adalah 1), diperoleh

\sqrt{p}=a/b (1)

\sqrt{p}b=a (2)

pb^{2}=a^{2} (3)

b^{2}=a^{2}/p (4)

b^{2}=(\frac{a}{p})a (5)

Jadi p membagi a misalkan x=\frac{a}{p} maka a=xp lalu kita subtitusikan a=xp ke persamaan (3) diperoleh

pb^{2}=(xp)^{2}

pb^{2}=x^{2}p^{2}

b^{2}=x^{2}p

\frac{b^{2}}{p}=x^{2}

b(\frac{b}{p})=x^{2}

Jadi p juga membagi b, padahal menurut asumsi a dan b adalah relatif prima fpb-nya 1. terjadi kontradiksi dengan asumsi

oleh karena itu

\sqrt{p} adalah bilangan irasional

Quod Erat Demonstrandum

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in irasional, pembuktian and tagged , , , . Bookmark the permalink.

9 Responses to Hubungan bilangan Prima dan irasional

  1. Lu'lu Yu'tikan Nabilah says:

    Terimakasih 🙂

  2. zonnalobo says:

    jika p membagi a maka p membagi a^2. Tetapi sebalikx belum tentu berlaku kan??
    Dan seandainya berlaku sperti yg anda katakan maka, bagaimana dgn yg p bukan prima, contohnya akar(14)?

  3. zonnalobo says:

    Maaf, maksudx p bukan p^2

  4. zonnalobo says:

    p^2 membagi a^2, tapi p belum tentu membagi a kan??

  5. metode di atas yang sering disebut dengan “metode pengandaian” kan ya? yang intinya nanti, diharapkan diperoleh kontradiksi sehingga diperoleh kesimpulan bahwa pengandaiannya yang salah sehingga seharusnya adalah pernyataan sebaliknya.

    * kalimatku mbulet-mbulet ga sih? *

  6. muzaki says:

    makasih banyak ya.. cara ini berlaku umum..

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s