Perbedaan Matematikawan dengan Dukun

211px-6sided_dicePeluang itulah materi yang saat ini saya ajarkan ke kelas XI. Yang namanya belajar peluang pasti mengunakan dadu sebagai contohnya. Tadi siang saya berkata ke anak XI IPA I :

Perbedaan kita yang belajar peluang dengan dukun ada pada dadu. Bagi kita muculnya mata dadu dari pelemparan dadu hanyalah keteracakan belaka yang kita hitung peluang keteracakannya sedangkan bagi dukun ada campur tangan dari yang ghaib lalu sang dukun mencoba menafsirkannya. Bagi dukun, muculnya mata dadu adalah isyarat ghaib.

Menurut wikipedia, ada teori yang berkata pada mulanya dadu adalah alat ramal kemudian berkembang menjadi alat permainan.

Nah… sekarang pertanyaan yang tersisa adalah

Apakah pelemparan dadu hanyalah keteracakan belaka atau ada campur tangan yang ghaib?

Silahkan jawab di kolom komentar, saya ingin tahu pendapatmu. Oya saya sengaja menggunakan istilah “yang ghaib”. Kalian bebas menafsirkan sebagai: arwah, jin, malaikat, dewa atau bahkan Tuhan sekalipun.

Sumber Gambar : Wikipedia

Posted in probabilitas | Tagged , , , | Leave a comment

Pilihan Ganda

pilihan-ganda

Sumber: elt-els.com

Berapa peluang anda menjawab pertanyaan ini dengan benar?

A. 25%

B. 50%

C. 0%

D. 25%

Nah… mari kita bahas soal pilihan ganda di atas. Kita tahu yang namanya soal pilihan ganda hanya ada 1 pilihan jawaban yang benar, soal diatas menyediakan 4 pilihan jawaban maka peluang kita memilih jawaban yang benar adalah 1/4 = 25%. Jika kita berpikir 25% adalah jawaban dari soal di atas maka kita harus menyilang A dan D. Dengan kata lain kita memilih 2 dari 4 pilihan, itu berarti peluang kita menjawab dengan benar menjadi 2/4 = 50%. Jelas jawabannya bukan 25%

Kalau kita berpikir jawabannya 50% maka kita harus menyilang B. Artinya kita memilih 1 dari 4 pilihan tapi bukankah jawaban yang kita pilih tersebut peluang benarnya  adalah 25%? Sudah kita bahas bahwa jawabannya bukan 25%

Yang tersisa hanya jawaban C. 0% tetapi peluang jawaban C untuk benar juga 25%.

***

Jadi soal di atas adalah paradoks, apapun jawaban yang kita pilih menimbulkan pertentangan.

Posted in probabilitas | Tagged , , , | 2 Comments

Hanya kontinyu di satu titik

kontinyu

Continuous, menurut kamus.net itu artinya terus menurus tanpa henti. Tentunya kalian pernah menedengar istilah fungsi kontinyu (continuous function). Kita tahu bahwa definsi dari suatu fungsi kontinyu di titik a adalah

\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=f\left(a\right)

artinya

Jika x mendekati a maka f(x) mendekati f(a)

Nah.. satu hal yang menarik tentang kontinyuitas ini adalah kita bisa mendefinsikan fungsi yang hanya kontinyu di satu titik tetapi diskontinyu di titik-titik lainnya. Dengan kata lain kita bisa mendifinisikan fungsi yang kontinyu di suatu titik tetapi dari titik tersebut kita tidak bisa kemana-mana, kita tidak bisa meneruskan perjalanan, kita terhenti. Mmm… bertolak belakang dengan pengertian continuous, ya kan?

Continue reading

Posted in Analisis | Tagged , , , , | 3 Comments

Integral sin(x)cos(x)dx

Mari kita kerjakan soal integral tak tentu berikut:

∫ sin(x)cos(x) dx

Kita gunakan metode subtitusi, yang disubtitusi sin(x)

u = sin (x)

du = cos (x) dx

[1/cos(x)]du = dx

Kita mendapatkan

∫ sin(x)cos(x) dx = ∫ u du

=½ u² + C

= ½ sin²(x) + C

Ternyata kita juga bisa mensubtitusi cos(x)

u = cos(x)

du = -sin(x)

[-1/sin(x)]du = dx

Kita mendapatkan

∫ sin(x)cos(x) dx = ∫ -u du

=-½ u² + C

= -½ cos²(x) + C

Selain cara subtitusi, kita juga bisa menggunakan rumus sudut ganda pada trigonometri

sin(2x) = 2sin(x)c0s(x)

½ sin(2x) = sin(x)c0s(x)

Kita medapatkan

∫ sin(x)cos(x) dx = ∫ ½ sin(2x) dx = ½∫ sin(2x) dx

= -¼ cos(2x) + C.

Jadi ∫ sin(x)cos(x) dx itu punya 3 jawaban?? Tenang saja ketiga jawaban tersebut ekuivalen kok alias sami-mawon.

Nah.. bisa kah kalian menunjukkan

  1. ½ sin²(x) + C
  2. -½ cos²(x) + C  dan
  3. -¼ cos(2x) + C

Ketiga bentuk tersebut ekuivalen?

 

 

Posted in Uncategorized | Tagged , , , | 1 Comment

Bagaimana Cara Membantah Bumi itu Bulat

globe-ball-6Di postingan sebelumnya, telah kita bahas bagaimana Abu Rayhan Al-biruni (973–1048) memberikan rumusan sederhana untuk mengukur jari-jari Bumi

{\displaystyle R=\frac{h\cos\theta}{1-\cos\theta}}

dengan

R = Jari-jari Bumi

h = Ketinggian kita dari dataran

θ= Sudut kemiringan Ufuk.

Untuk mengukur jari-jari bumi, kita hanya perlu berada di ketinggian yang cukup sehingga ufuk terlihat, kemudian kita gunakan Teodolit atau alat ukur sudut lainnya untuk mengitung θ. Tinggal kita masukkan ke rumus di atas, viola kita telah mengukur jari-jari bumi.

Jika kamu tidak percaya bumi itu bulat, jika kamu yakin bahwa bentuk bumi itu bukan bulat maka untuk membuktikan keyakinanmu cukup dengan menujukkan rumus Biruni keliru. Jika rumus biruni salah maka dengan sendirinya Teori bumi bulat akan runtuh.

Bagaimana menujukkan rumus matematika itu keliru?

Cukup tunjukkan 1 saja contoh yang salah atau istilahnya counter example. Rumus matematis serumit apapun akan runtuh jika ditemukan 1 saja counter examplenya.

Dalam kasus rumus Biruni, cukup tunjukan pada ketinggian dengan nilai θ sekian ( Besar θ tergantung ketinggian yang kita ambil) masukkan ke rumus biruni dan ternyata hasilnya jauh melenceng dari jari-jari Bumi yaitu 6.371 kilometers

Jika kamu mampu melakukan hal tersebut dan tentu saja yang kamu lakukan bisa dipertanggungjawabkan secara ilmiah maka teori bumi bulat akan runtuh

Ini lah cara yang tepat untuk membantah bumi itu bulat gak perlu bawa-bawa teori konspirasi.

Btw rumus Biruni sudah ada sejak abad ke-10. Kok selama 1 milenium belum ada yang mampu memberikan counter examplenya?

Posted in geometri, Logika | Tagged , , , , | 2 Comments

Biruni mengukur Bumi

Sebagai bangun ruang, bola mememiliki ciri khas yang tidak dimiliki bangun datar lain, yaitu jari-jari yang merupakan jarak konstan antara permukaan dengan titik tengahnya. Ya memang kerucut dan tabung juga memiliki jari-jari tetapi hanya di alasnya saja, jarak konstan hanya antara tepi alas dengan titik tengah alasnya bukan terhadap keseluruhan permukaan. Jadi untuk menunjukkan suatu objek berbentuk bulat cukup tunjukkan objek tersebut memiliki jari-jari. Nah.. dengan cara itulah kita membuktikan bumi yang kita tempati  berbentuk bulat.

Menurur Aristoteles, panjang jari-jari bumi adalalah 400.000 stadia . Tidak diketahui darimana Aristoteles mendapatkan nilai tersebut. Sejarah mencatat orang yang pertamakali melakukan perhitungan ilmiah untuk mengukur jari-jari Bumi adalah Matematikawan mesir kuno Eratosthenes sekitar 240 SM tetapi perhitungannya masih teramat kasar.

Barulah di abad ke-10, Matematikawan persian Abu Rayhan Al-biruni (973–1048) memberikan metode matematis yang shahih umtuk mengukur jari-jari bumi dengan menggunakan Trigonometri.

Pertama-tama dia memberikan kita metode menghitung tingngi gunung dengan menggunakan Trigonometri

tinggi gunug

{\displaystyle h=\frac{d\tan\theta_{1}\tan\theta_{2}}{\tan\theta_{2}-\tan\theta_{1}}}

Untuk menghitung h tinggi dari suatu gunung dibutuhkan 3 pengukuran yaitu d jarak 2 titik yang ketinggiannya sama serta sejajar dengan guhung serta 2 sudut yang terbentuk antara 2 titik tersebut dengan puncak gunung.

Continue reading

Posted in geometri | Tagged , , , , | 12 Comments

Panjang Jari-Jari

Gak sengaja nemu soal yang sangat menarik di Twitter

CrMCtxGXgAA6bPe

Klik Gambar untuk memperbesar

Dapatkah kamu menghitung jari-jari lingkaran kurang dari semenit?

Oya kalau kurang jelas, panjang diagonal AB adalah 9½ dan tentu saja x adalah titik pusat. Awalnya saya sempat kebingungan tapi setelah tahu jawabannya. Damn… ini soal cerdas banget

Posted in geometri, soal | Tagged , , | 4 Comments

Pengurangan dengan penjumlahan

Peringatan: dalam postingan ini, bilangan dan angka adalah 2 terminologi berbeda, apa bedanya? Klik di sini

Sekarang kita akan membahas bagaimana caranya melakukan operasi pengurangan dengan menggunakan penjumlahan. Dengan kata lain bagaimana mengubah pengurangan menjadin penjumlahan. Nah… sekarang perhatikan

14.321 – 12.567

Silahkan kalian cek dengan kalkulator hasilnya adalah 1.754. Saya akan mengubah -12.567 menjadi +87.433, kita mendapatkan

14.321 + 87.433 = 101.754.

Coret angka 1 didepan, kita mendapatkan 01.754. Angka nol didepan bisa kita abaikan, sehingga kita mendapatkan 1.754.

Sebenarnya 87.433 adalah komplemen dari 12.567. Apa yang sala lakukan diatas adalah mengurangi dengan cara komplemen

Apa itu komplemen?

Komplemen dari bilangan x adalah bilangan y sedemikian hingga x + y =10 ( atau 100, 1000 tergantung dari banyaknya angka)

Continue reading

Posted in dll | Tagged , , , , | 4 Comments

Review Buku: Menulis (Ilmiah) Itu menyenangkan

menulis ilmiah itu menyenangkanJadi ceritanya, saya membeli buku Menuju Tak Terhingga melalui Pak Dasapta Erwin, seorang dosen Geologi ITB. Nah.. ternyata saya mendapatkan bonus 1 buku berjudul

Menulis (Ilmiah) itu menyenangkan.

karya pak Dasapta sendiri bersama sang Istri, Cut Novianti Rachmi. Mmm… entah bagaimana dengan kalian tapi menurut saya, sesuatu yang romantis yang so sweet sepasang suami – istri menulis buku bersama. Ini satu-satunya buku karya pasutri yang saya miliki.

Awalnya buku ini saya acuhkan karena bukan ini yang saya inginkan, hanya sekedar bonus dari buku yang saya beli. Dari judulnya yang memuat kata ilmiah membuat saya berburuk sangka kalau buku ini ditulis dengan gaya bahasa ilmiah (baca: kaku) sampai saya membacanya. Ternyata saya 100% keliru buku ini ditulis dengan gaya bahasa non-formal, santai nan ringan. Buku ini memposisikan sebagai sahabat bagi pembacanya bukan sebagai dosen yang mengkuliahi mahasiswanya padahal buku ini ditulis oleh dosen.

Dari judul bukunya sudah bisa ditebak apa yang dibahas di buku ini. Menulis ilmiah yang dibahas di buku ini difokuskan kepada penulisan skrisi S1 karena memang target pembaca buku ini adalah mahasiswa S1

Continue reading

Posted in Buku | Tagged , , | Leave a comment

Review Buku: Menuju Tak Terhingga

menuju tak terhinggaTAK TERHINGGA (infinty) menurut saya adalah konsep matematis yang paling eksotis (mungkin ini, istilah yang paling tepat). Tak terhingga adalah konsep matematis yang tidak masuk akal, yang membingungkan, penuh paradoks yang akan membuatmu mind blowing. Nah.. sekarang saya mau mereview buku terbaru dari Prof Hendra Gunawan  yang membahas hal tersebut, judulnya

Menuju Tak Terhingga

Di Bab pertama, Prof Hendra langsung membahas beberapa paradoks yang melibatkan Tak terhingga. Salah satu Paradoks yang dibahas adalah Paradoks Hotel Hilbert. Alkisah ada Hotel bernama Hotel Hilbert yang memiliki tak hingga banyaknya kamar. Kamar-kamar tersebut diberi nomer 1, 2, 3 dan seterusnya. Suatu hari Hotel tesebut penuh terisi, lalu datanglah tamu yang hendak menginap. Jika kamu berpikir, sang tamu akan ditolak karena semua kamar telah penuh, kamu keliru. Menejer hotel punya cara menyediakan 1 kamar kosong untuk si tamu meskipun semua kamar telah terisi. Nah… lho, gimana caranya?  Silahkan baca sendiri bukunya😀

Continue reading

Posted in Buku, kalkulus | Tagged , , | 6 Comments