As Hati

As HatiSekarang kita akan bermain-main dengan kartu remi. Kita akan mengocok secara acak 1 set kartu remi, ambil kartu yang paling atas, jika yang terambil adalah kartu as hati maka permainan selesai, jika bukan maka permainan diulang.

Nah.. yang jadi pertanyaannya adalah

Berapa kali permainan ini harus kita coba untuk mendapatkan as hati?

Percaya atau tidak, kemungkinan besar kita cukup mencoba sekali saja.

Kita tahu 1 set kartu remi ada 52 kartu, so… kemungkinan kita berhasil pada percobaan pertama adalah 1/52 ≈ 0,01923. Kalau kamu pikir kemungkinan berhasil pada percobaan kedua juga 1/52, kamu keliru. Karena untuk melakukan percobaan kedua, kita harus gagal pada percobaan pertama, iya kan? Dengan kata lain, kita berhasil pada percobaan kedua artinya mendapat kartu as hati dan gagal pada percobaan pertama.

Kemungkinan berhasil pada percobaan kedua = kemungkinan mendapatkan kartu as hati × kemungkinan gagal pada percobaan pertama

= 1/ 52   × 51/52

= 51 / 2704

≈0,0188

Ya… memang sich selisih nilai peluangnya kecil tetapi itu sudah cukup menuncukkan bahwa percobaan kedua peluangnya lebih kecil dari percobaan pertama.  Dengan cara yang sama dapat disimpulkan percobaan ke-3, ke-4 dan selanjutnya peluangnya akan semakin kecil

Posted in probabilitas | Tagged , , , | Leave a comment

Tiga Gelas

tiga-gelas

Sekarang kita akan bermain-main dengan gelas.  kamu ambil tiga gelas lalu susun  dimana salah satunya dalam keadaan terbalik dan dua lainnya dalam posisi benar yaitu lubangnya menghadap ke atas, seperti gambar di atas. Permainannya sederhana saja kamu balik 2 gelas secara bersamaan sampai ketiganya dalam posisi benar.

Silahkan kalian coba tapi percayalah kalian mustahil membuat ketiganya dalam posisi  benar. Gak percaya? Coba aja sendiri🙂

Mengapa mustahil?

Kita sebut gelas yang posisinya terbalik sebagai salah. Pada awalnya kita memiliki 2 benar dan 1 salah. Kita punya 2 pilihan dalam membalikkan 2 gelas bersamaan.

(i) Membalikkan 1 benar dan 1 salah

(ii) Membalikkan 2 benar.

Untuk pilihan (i) kita tetap mendapatkan keadaan awal yaitu 2 benar dan 1 salah, tidak ada yang berubah. Untuk pilihan (ii) kita mendapatkan 3 salah tetapi jika kita membalikkan lagi 2 gelas maka kita kembali ke keadaan awal.

Jadi tidak peduli berapa banyak langkah yang kau lakukan kamu hanya akan mendapatkan 3 salah atau hanya 1 salah, mustahil kamu mendapatkan o salah.

Posted in teka-teki, Uncategorized | Tagged , , | 1 Comment

Hanya kontinyu di satu titik (versi formal)

Saya pernah membahas bahwa ada suatu fungsi yang hanya kontinyu di satu titik secara non-formal, sekarang saya akan membahasnya secara formal.

Didefiniskan fungsi sebagai berikut

f\left(x\right)=\begin{cases} x & ,jika\,x\,rasional\\ -x & ,jika\,x\,irasional \end{cases}

Akan ditunjukkan fungsi tersebut hanya kontinyu di x=0.

Diberikan a≠0, ambil xr barisan rasional yang konvergen ke a dan xi barisan irasional yang konvergen juga ke a. Diperoleh

\lim_{x_{r}\rightarrow a}f\left(x_{r}\right)=a

dan

\lim_{x_{i}\rightarrow a}f\left(x_{i}\right)=-a

Disimpulkan \lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right) tidak ada. Dengan kata lain f(x) diskontinyu di a≠0

Selanjutnya untuk titik di 0, berdasarkan definisi f(o)=0. Karena nilai f(x) selalu x atau -x maka diperoleh  -|x| ≤ f(x) ≤ |x|. karena

\lim_{x\rightarrow0}-\left|x\right|=\lim_{x\rightarrow0}\left|x\right|=0

maka berdasarkan teorema Sandwich disimpulkan \lim_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=0. Dengan kata lain f(x) kontinyu di 0

 

Posted in Uncategorized | Tagged , , , | Leave a comment

Cara menggandakan uang secara Matematika

dimas-kanjengBeberapa hari terakhir ini, kita dihebohkan dengan kasus Dimas kanjeng taat Pajak Pribadi yang katanya mampu menggandakan uang. Nah… peracaya atau tidak apa yang dilakukan Dimas kanjeng itu secara matematis adalah hal yang mungkin bukan sesuatu yang mustahil. Berikut langkah-langkah menggandakan uang secara matematis

  1. Ambil selembar uang nominal Rp 100.000,00. Sebenarnya nominal berapapun bisa tapi kita ambil nominal terbesar.
  2. Potong uang tersebut menjadi potongan-potongan tak terukur (non-measurable) sebanyak 6 potongan
  3. Kemudian 6 potongan tersebut kita bagi menjadi 2 kelompok, masing-masing kelompok berisi 3 potongan
  4. Gabungkan kembali 3 potongan yang berada di masing-masing kelompok.
  5. Viola… sekarang kita mendapatkan 2 lembar uang Rp 100.000,00
  6. Ulangi kembali langka-langkah di atas maka kita bisa mengandakan uang sebanyak-banyak seperti Dimas Kanjeng Pribadi.

Ada teorema valid yang menjamin langkah-langkah diatas yaitu Paradoks Banach taski meskipun demikian langkah-langkah tersebut hanya bisa dilakukan di dunia matematis bukan di dunia nyata. Lha… berarti sama aja bohong😀

Ada 2 alasan mengapa langkah-langlah di atas mustahil kita lakukan di dunia nyata

  1. Disebutkan bahwa potongan-potongannya harus tak terukur. Apa artinya? Arinya potongan tersebut bentuknya teramat rumit sehingga ukuran dan bentuknya menjadi tidak jelas, menjadi absurd. Jelas mustahil kita membentuk potongan yang tak terukur
  2. Memotong uang itu dilarang berdasarkan UU no.7 tahun 2011
Posted in dll, Uncategorized | Tagged , , , | 1 Comment

150 Triliun

the_money_bin_on_ducktalesSaya baru aja baca berita di kompas.com yang berjudul:

“Tax Amnesty” Ungkap Simpanan Uang Tunai di Rumah Mencapai Rp 150 Triliun

Dari judulnya saja kita bisa mengetahui ada orang menyimpan uang tunai 150 triliun. Ingat, triliun itu nolnya ada 12, 1 triliun = 1012. Dengan kata lain kompas.com memberitakan ada orang yang menyimpan Rp 150 × 1012 di rumahnya. Asumsi uang sebuanyak itu dalam pecahan Rp 100.000,- berarti dia menyimpan 150× 107 = 1.500.000.000 lebar uang pecahan Rp 100.000,- .
Dimensi dari selembar uang Rp 100.000,- adalah 151 × 65 × 0,1 mm, itu berarti volumenya adalah

981,5 mm³= 151 × 65 × 0,1

kita konversi ke meter kubik

981,5 mm³ = 981,5  × 10-9m³ = 9,815 × 10-7

Selanjutnya kita hitung volume dari 150×107 lembar pecahan Rp 100.000,- adalah

9,815×10-7 × 150×107
= 1472,25 m³

Jika dia menyimpan uang sebuanyak itu dalam brankas berbentuk kubus maka paling tidak ukuran brankasnya adalah  11,5 × 11,5 × 11,5 m. Itu sebesar gedung 4 lantai.

Sebenarnya saya menganggap berita tersebut too good to be true tetapi terlalu dini dikatakan hoaks, bisa jadi dia punya gudang bawah tanah untuk menyimpan uang sebanyak itu.

Gambar diambil dari sini

Posted in dll, Uncategorized | Tagged , , , | 4 Comments

Perbedaan Matematikawan dengan Dukun

211px-6sided_dicePeluang itulah materi yang saat ini saya ajarkan ke kelas XI. Yang namanya belajar peluang pasti mengunakan dadu sebagai contohnya. Tadi siang saya berkata ke anak XI IPA I :

Perbedaan kita yang belajar peluang dengan dukun ada pada dadu. Bagi kita muculnya mata dadu dari pelemparan dadu hanyalah keteracakan belaka yang kita hitung peluang keteracakannya sedangkan bagi dukun ada campur tangan dari yang ghaib lalu sang dukun mencoba menafsirkannya. Bagi dukun, muculnya mata dadu adalah isyarat ghaib.

Menurut wikipedia, ada teori yang berkata pada mulanya dadu adalah alat ramal kemudian berkembang menjadi alat permainan.

Nah… sekarang pertanyaan yang tersisa adalah

Apakah pelemparan dadu hanyalah keteracakan belaka atau ada campur tangan yang ghaib?

Silahkan jawab di kolom komentar, saya ingin tahu pendapatmu. Oya saya sengaja menggunakan istilah “yang ghaib”. Kalian bebas menafsirkan sebagai: arwah, jin, malaikat, dewa atau bahkan Tuhan sekalipun.

Sumber Gambar : Wikipedia

Posted in probabilitas | Tagged , , , | 2 Comments

Pilihan Ganda

pilihan-ganda

Sumber: elt-els.com

Berapa peluang anda menjawab pertanyaan ini dengan benar?

A. 25%

B. 50%

C. 0%

D. 25%

Nah… mari kita bahas soal pilihan ganda di atas. Kita tahu yang namanya soal pilihan ganda hanya ada 1 pilihan jawaban yang benar, soal diatas menyediakan 4 pilihan jawaban maka peluang kita memilih jawaban yang benar adalah 1/4 = 25%. Jika kita berpikir 25% adalah jawaban dari soal di atas maka kita harus menyilang A dan D. Dengan kata lain kita memilih 2 dari 4 pilihan, itu berarti peluang kita menjawab dengan benar menjadi 2/4 = 50%. Jelas jawabannya bukan 25%

Kalau kita berpikir jawabannya 50% maka kita harus menyilang B. Artinya kita memilih 1 dari 4 pilihan tapi bukankah jawaban yang kita pilih tersebut peluang benarnya  adalah 25%? Sudah kita bahas bahwa jawabannya bukan 25%

Yang tersisa hanya jawaban C. 0% tetapi peluang jawaban C untuk benar juga 25%.

***

Jadi soal di atas adalah paradoks, apapun jawaban yang kita pilih menimbulkan pertentangan.

Posted in probabilitas | Tagged , , , | 2 Comments

Hanya kontinyu di satu titik

kontinyu

Continuous, menurut kamus.net itu artinya terus menurus tanpa henti. Tentunya kalian pernah menedengar istilah fungsi kontinyu (continuous function). Kita tahu bahwa definsi dari suatu fungsi kontinyu di titik a adalah

\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=f\left(a\right)

artinya

Jika x mendekati a maka f(x) mendekati f(a)

Nah.. satu hal yang menarik tentang kontinyuitas ini adalah kita bisa mendefinsikan fungsi yang hanya kontinyu di satu titik tetapi diskontinyu di titik-titik lainnya. Dengan kata lain kita bisa mendifinisikan fungsi yang kontinyu di suatu titik tetapi dari titik tersebut kita tidak bisa kemana-mana, kita tidak bisa meneruskan perjalanan, kita terhenti. Mmm… bertolak belakang dengan pengertian continuous, ya kan?

Continue reading

Posted in Analisis | Tagged , , , , | 4 Comments

Integral sin(x)cos(x)dx

Mari kita kerjakan soal integral tak tentu berikut:

∫ sin(x)cos(x) dx

Kita gunakan metode subtitusi, yang disubtitusi sin(x)

u = sin (x)

du = cos (x) dx

[1/cos(x)]du = dx

Kita mendapatkan

∫ sin(x)cos(x) dx = ∫ u du

=½ u² + C

= ½ sin²(x) + C

Ternyata kita juga bisa mensubtitusi cos(x)

u = cos(x)

du = -sin(x)

[-1/sin(x)]du = dx

Kita mendapatkan

∫ sin(x)cos(x) dx = ∫ -u du

=-½ u² + C

= -½ cos²(x) + C

Selain cara subtitusi, kita juga bisa menggunakan rumus sudut ganda pada trigonometri

sin(2x) = 2sin(x)c0s(x)

½ sin(2x) = sin(x)c0s(x)

Kita medapatkan

∫ sin(x)cos(x) dx = ∫ ½ sin(2x) dx = ½∫ sin(2x) dx

= -¼ cos(2x) + C.

Jadi ∫ sin(x)cos(x) dx itu punya 3 jawaban?? Tenang saja ketiga jawaban tersebut ekuivalen kok alias sami-mawon.

Nah.. bisa kah kalian menunjukkan

  1. ½ sin²(x) + C
  2. -½ cos²(x) + C  dan
  3. -¼ cos(2x) + C

Ketiga bentuk tersebut ekuivalen?

 

 

Posted in Uncategorized | Tagged , , , | 3 Comments

Bagaimana Cara Membantah Bumi itu Bulat

globe-ball-6Di postingan sebelumnya, telah kita bahas bagaimana Abu Rayhan Al-biruni (973–1048) memberikan rumusan sederhana untuk mengukur jari-jari Bumi

{\displaystyle R=\frac{h\cos\theta}{1-\cos\theta}}

dengan

R = Jari-jari Bumi

h = Ketinggian kita dari dataran

θ= Sudut kemiringan Ufuk.

Untuk mengukur jari-jari bumi, kita hanya perlu berada di ketinggian yang cukup sehingga ufuk terlihat, kemudian kita gunakan Teodolit atau alat ukur sudut lainnya untuk mengitung θ. Tinggal kita masukkan ke rumus di atas, viola kita telah mengukur jari-jari bumi.

Jika kamu tidak percaya bumi itu bulat, jika kamu yakin bahwa bentuk bumi itu bukan bulat maka untuk membuktikan keyakinanmu cukup dengan menujukkan rumus Biruni keliru. Jika rumus biruni salah maka dengan sendirinya Teori bumi bulat akan runtuh.

Bagaimana menujukkan rumus matematika itu keliru?

Cukup tunjukkan 1 saja contoh yang salah atau istilahnya counter example. Rumus matematis serumit apapun akan runtuh jika ditemukan 1 saja counter examplenya.

Dalam kasus rumus Biruni, cukup tunjukan pada ketinggian dengan nilai θ sekian ( Besar θ tergantung ketinggian yang kita ambil) masukkan ke rumus biruni dan ternyata hasilnya jauh melenceng dari jari-jari Bumi yaitu 6.371 kilometers

Jika kamu mampu melakukan hal tersebut dan tentu saja yang kamu lakukan bisa dipertanggungjawabkan secara ilmiah maka teori bumi bulat akan runtuh

Ini lah cara yang tepat untuk membantah bumi itu bulat gak perlu bawa-bawa teori konspirasi.

Btw rumus Biruni sudah ada sejak abad ke-10. Kok selama 1 milenium belum ada yang mampu memberikan counter examplenya?

Posted in geometri, Logika | Tagged , , , , | 6 Comments