Teorema Lagrange

Kita tahu bahwa suatu grup dikatakan berhingga jika ordernya berhingga. Jika grup G berhingga tentu saja subgrupnya berhingga pula. Nah..teorema Lagrange membahas hubungan grup berhingga dengan subgrupnya.

Pertama-tama akan saya tunjukan bahwa relasi ekuivalen bisa dikontruksikan dari sebarang subgrup.

Lemma: Diberikan H subgrup dari G dan x,y\in G

1) Relasi biner \mathcal{R} pada G didefinisikan

x\,\mathcal{R}\, y jika xy^{-1}\in H

adalah relasi ekuivalensi kelas-\mathcal{R} dari x\in G adalah Hx=\left\{ hx|\, h\in H\right\}

2) Relasi biner \mathcal{L} pada G didefinisikan

x\,\mathcal{L}\, y jika y^{-1}y\in H

adalah relasi ekuivalensi kelas-\mathcal{L} dari x\in G adalah xH=\left\{ xh|\, h\in H\right\}

Himpunan Hx disebut koset kanan dan xH disebut koset kiri, tentu saja keduanya termuat di G.Nah..seperti yang sudah saya katakan xH (begitu juga Hx) merupakan kelas ekuivalensi, itu berarti G akan terpartisi menjadi himpunan-himpunan  xH

Contoh: Diberikan grup \left(\mathbb{Z}_{6},+\right)=\left\{ 0,1,2,3,4,5\right\} dan subgrup H=\left\{ 0,3\right\} , akan kita cari akan kita partisi \left(\mathbb{Z}_{6},+\right) menjadi koset-koset dari H

Salah satu kosetnya adalah H itu sendiri, koset yang memuat 1 adalah 1+\left\{ 0,3\right\} =\left\{ 1,4\right\} . Koset yang memuat 2 adalah 2+\left\{ 0,3\right\} =\left\{ 2,5\right\} . Karena \left\{ 0,3\right\} , \left\{ 1,4\right\} dan \left\{ 2,5\right\} memuat semua anggota \left(\mathbb{Z}_{6},+\right), maka kita telah menemukan semua koset.

Teorema: Banyaknya koset kiri dan kanan dari suatu subgrup adalah sama.

Bukti: Jika Hx, adalah koset kanan dari H maka \left(Hx\right)^{-1}=x^{-1}H^{-1}=x^{-1}H adalah koset kiri. Begitupula sebaliknya xH adalah koset kiri maka \left(xH\right)^{-1}=Hx^{-1} adalah koset kanan, itu artinya kita telah menggkontruksikan pemetaan bijektif antara Hx dengan xH.

Nah..barulah sekarang kita bahas teorema Langrange.

Teorema Langrange: Diberikan H subgrup dari grup berhingga G maka order dari H membagi order dari G.

Bukti: Pertama-tama akan dibuktikan \left|H\right|=\left|xH\right|, caranya? Tunjukan ada pemetaan bijektif

\varphi:H\rightarrow xH

Kita definisikan saja pemetaan tersebut \varphi\left(h\right)=xh untuk setiap h\in H. Pemetaan ini surjektive berdasarkan definisi xH yaitu \left\{ xh|\, h\in H\right\} . Untuk membuktikan \varphi injektive, andaikan \varphi\left(h_{1}\right)=\varphi\left(h_{2}\right) untuk h_{1},h_{2}\in H maka xh_{1}=xh_{2}. Berdasarkan hukum kanselasi (cancellation law) pada grup, diperoleh h_{1}=h_{2}. Terbukti \varphi injektive. Dengan cara yang sama dapat kita tunjukan  \left|H\right|=\left|Hx\right|, maka dapat dismpulkan

Setiap koset baik kiri maupun kanan dari subgrup H mempunyai order yang sama dari order H itu sendiri

Karena xH merupakan kelas ekuivalensi maka G terpartisi menjadi n  koset kiri, yang setiap koset kiri mempunyai anggota sebanyak \left|H\right|. Jadi dapat disimpulkan

\left|G\right|=n\left|H\right|

\left|G\right|/\left|H\right|=n

Jika kita mempunyai sebarang grup berhingga G maka berdasarkan teorema Langrange, order dari subgrupnya akan selalu membagi order dari G tersebut

Contoh: Diberikan grup \left(\mathbb{Z}_{6},+\right)=\left\{ 0,1,2,3,4,5\right\} dan 2 subgrup H_1=\left\{ 0,3\right\} dan H_2=\left\{ 0,2,4\right\} maka

\left|G\right|/\left|H_1\right|=3

\left|G\right|/\left|H_2\right|=2

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungikaos.ariaturns.com**

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

13 Responses to Teorema Lagrange

  1. nini sophia says:

    mas tw g
    cara pembuktian
    H irisan k maka H dan K sub grup G

    bsa mnta di buktikan g bntar mas

  2. imha says:

    mas tolong bahas tentang sifat-sifat subgrup dan pembuktiannya beserta contohnya

  3. ema says:

    mas minta tlg dong,, membuktikan Jika K,H,G adalah grup dengan sifat K<H<G maka [G:K]=[G:K].[H=K], dimana G adalah grup berhingga
    trims

  4. benny says:

    mas nulis persamaan matematika di blog pake apa?

  5. anaksdsd says:

    bang.. tau gk bukti dr teorema ni,,
    Syarat perlu bagi sebuah fungsi f(x) dengan kendala g_f (X)= 0, dengan j=1,2,…,m agar mempunyai minimum relative pada titik X^* adalah derivasi parsial pertama dari fungsi lagrangenya yang didefinisikan sebagai L=L(x_1,x_2,…,x_n,λ_1 λ_2,…,λ_3) terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol.

  6. ilham says:

    tenkyu puooL….
    tugas quw langsung menemukan jawaban yg pas dgn artikel di atas…..

  7. Erliani Prihati says:

    I love math!

  8. fela says:

    mas tolong bahas tentang hukum kanselasi (hukum penghilangan) dong…..

  9. adampahlevi says:

    mas, tau gak tentang LaGrange Interpolating Polynomial, itu maksudnya gimana? suer gue gak mudeng angka2 gitu dari mana datengnya

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s