Sudut-sudut Istimewa

Dalam Trigonometri ada yang nama sudut-sudut istimewa, ada 5 sudut istimewa yaitu: 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°. Dikatakan sudt-sudut istimewa karena nilai fungsi trigonometrinya bisa diperoleh melalui perhitungan sederhana.

Kita mulai dari sudut 45°.

45 derajatBerawal dari persegi satuan (yaitu panjang sisinya 1 satuan) ABCD. Kita mendapatkan segitiga siku-siku ABC, dengan siku-siku di C dan dengan mengunakan dalil Phytagoras kita medapatkan panjang sisi miring adalah √2. Dengan mudah kita ketahui besar sudut A adalah 45° . So.. diperoleh

  • \sin45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}
  • \cos45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}
  • \tan45^{\circ}=\frac{1}{1}=1

Selajutnya sudut 30° dan 60°

60 dan 30 derajatBerawal dari segitiga sama sisi yang panjang sisinya adalah 2 satuan, yang namanya segitiga sama sisi besar setiap sudutnya adalah 60°. Kemudain kita potong di garis tinggi, sehingga kita mendapatkan segitiga siku-siku yang besar sudut non siku-sikunya adalah 30° dan 60°. Dengan mengunakan dalil Phytagoras maka panjang garis tingginya adalah √3. So.. diperoleh

  • \sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}
  • \cos60^{\circ}=\frac{1}{2}
  • \tan60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}

Sedangkan yang 30°

Continue reading

Posted in kalkulus | Tagged , , , , | 3 Comments

Konsep Dasar Penjumlahan dan Perkalian

3 Apel + 4 Jeruk = …can-stock-photo_csp0866279

Soal diatas saya berikan kepada murid-murid saya. Saya ingin tahu apakah mereka masih paham konsep dasar penjumlahan atau tidak. Ah… sayangnya mayoritas kebingungan menjawab soal diatas :( . Jika kamu juga bingung menjawab soal diatas, mari saya jelaskan.

Dalam penjumlahan kita hanya bisa menjumlahkan hal-hal yang sama atau sejenis

3 Apel + 4 Apel = 7 Apel

4 Kucing + 5 Kucing = 9 Kucing

Kita tidak bisa menjumlahkan hal-hal berbeda seperti soal di atas kecuali dicari kesamaannya.

3 Apel + 4 Jeruk = 9 Buah-buahan

6 Anjing + 4 Kucing = 10 hewan Peliharaan

4 Pinsil + 6 Pulpen = 10 Alat tulis

Sekarang bagaimana dengan perkalian

3 Apel × 4 Jeruk = …

Sebaliknya perkalian tidak peduli dengan itu semua. Dalam perkalian semuanya dikalikan

3 Apel × 4 Jeruk = 12 Apel·Jeruk

4 Kucing × 5 Anjing = 20 Kucing·Anjing

4 Apel × 5 Apel = 20 Apel²

3 Kucing × 7 Kucing = 21 Kucing²

Nah.. itu tadi konsep dasar penjumlahan dan perkalian. Jangan sampai lupa yach :)

Posted in Teori Bilangan | Tagged , , , | 2 Comments

Pembuktian lain Teorema Euclid

Teorema Euclid menyatakan ada tak hingga banyaknya bilangan prima. Umumnya teorema tersebut dibuktikan dengan cara kontradiksi.

Teoream Euclid: Ada tak hingga banyaknya bilangan prima

Bukti: Andaikan bilangan prima jumlahnya berhingga, p_{1}=2<p_{2}=3<p_{3}=5<\ldots<p_{r} adalah semua bilangan prima. Diperoleh N=p_{1}p_{2}p_{3}\ldots p_{r}+1 hasil perkalian semua bilangan prima plus 1. Jelas tidak ada satupun dari p_{1},p_{2},p_{3},\ldots p_{r} yang membagi N. Itu berarti terdapat bilang prima lain p yang merupakan faktor dari N dan bukan salah satu dari p_{1},p_{2},p_{3},\ldots p_{r}. Padahal diketahui p_{1},p_{2},p_{3},\ldots p_{r} adalah semua bilangan prima. Kontradiksi

Ternyata ada pembuktian lain dengan cara langsung bukan cara kontradiksi.

Bukti Lain: Diberikan n adalah bilangan bulat positif yang lebih besar dari satu. Itu berarti n dan n+1 adalah bilangan bulat berurutan yang haruslah relatif prima (yaitu fpb dari keduanya adalah satu). Itu berarti N_2=n(n+1) memiliki paling tidak 2 faktor prima berbeda. Dengan cara yang sama n(n+1) dan n(n+1)+1 juga relatif prima, Itu berarti N_3=n(n+1)[n(n+1)+1] memiliki paling tidak 3 faktor prima berbeda. Proses ini bisa dilanjutkan terus menurus, tak hingga kali. Jadi dapat disimpulkan ada tak hingga banyaknya bilangan prima.

Sumber

Posted in pembuktian, Teori Bilangan | Tagged , , | Leave a comment

Mengenal Matematika lebih dekat

mengenal matematika lebih dekatKali ini saya mau mereview buku karya sahabat saya sendiri Rully Charitas Indra Prahmana yang saat ini sedang menempuh S3 pendidikan matematika di UPI. Judul bukunya adalah Mengenal Matematika lebih dekat. Sebenarnya buku ini bukan 100% tulisannya karena buku ini adalah buku keroyokan ditulis oleh banyak orang lebih dari 30 orang menyumbangkan tulisannya  dan beliau adalah ketuanya.

Buku ini adalah buku sejarah matematika yang membahas perkembangan matematika di duni berikut tokoh-tokohnya. Buku ini tebalnya 206 halaman dan terbagi menjadi 5 bab.

Bab I: Sejarah Matematika

Bab pertama ini 100% ditulis oleh Rully. Dia menuliskan pengertian maematika dan penting mempelajari sejarah matematika. Sebagai guru matematika saya berpendapat seharusnya sejarah matematika masuk di kurikulum, dipelajari oleh anak sekolah. Dengan mempelajari sejarah matematika, siswa akan paham bahwa matematika tidak hanya berhitung tetapi merupakan bagian terpenting dari peradaban, seperti yang dikatakan Napoleon Bonaparte

The advancement and perfection of mathematics are intimately connected with the prosperity of the State

Bab II: Kelahiran Matematika

Di bab II di ceritakan perkembangan matematika di beberapa peradaban di didunia ini yaitu Mesir kuno, babilonia, India, Arab, China, eropa dan Amerika serikat. Sayang perkembangan Matematika di Bangsa Maya luput dari buku ini.

Bab III: Para Matematikawan Sejati

Bab ini membahas para Tokoh Matematika seperti: Al- Khawarizmi, Cauchy, Riemann, Leibiniz, Euler, Euclid dan lainnya. Yang saya suka, Ummar Khayam dibahas di Bab ini. Banyak orang yang mengenal Ummar Khayam sebagai penyair Arab padahal dia juga seorang Matematikawan besar.

Continue reading

Posted in Buku | Tagged , , | 4 Comments

Teorema De Gua

teorema de gua

Sumber: Wikepedia

Pada abad ke-18, Matematikawan Prancis Jean Paul de Gua de Malves menemukan anologi dimensi tiga dari Dalil Pythagoras

Teorema De Gua: Jika limas segitiga yang memiliki sudut siku-siku (seperti pada kubus / Balok) maka luas kuadrat dari sis yang berdapan dengan sudut tesebut sama dengan jumlah kuadrat dari sisi-sisi lainnya

L_{ABC}^{2}=L_{ABO}^{2}+L_{ACO}^{2}+L_{BCO}^{2}

Bukti:

limas segitiga susdut siku-siku

Untuk mempermudah perhitungan kita letakkan sudut siku-sikunya di titik (0,0,0) pada garis koordinat xyz. Sudut-susudutnya yang lain terletak di (a,0,0), (0,b,0) dan (0,0,c). Bisa kita lihat limas tesebut memiliki 3 sisi berbentuk segitiga siku-siku. Jumlah luas kuadrat dari 3 sisi tersebut adalah

\frac{1}{4}a^{2}b^{2}+\frac{1}{4}a^{2}c^{2}+\frac{1}{4}b^{2}c^{2}=\frac{1}{4}\left(a^2b^{2}+a^2c^{2}+b^{2}c^{2}\right)

Selanjutnya kita perhatikan segitiga abc yang merupakan sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku, panjang alasnya adalah \sqrt{a^{2}+b^{2}} dan tingginya adalah {\displaystyle \sqrt{\frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+c^{2}}} (Hayoo… darimana tingginya diperoleh?). So.. kita medapatkan luas segitiga abc

{\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sqrt{\frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+c^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{ab^{2}+ac^{2}+b^{2}c^{2}}}

Kita kuadratkan, diperoleh

\frac{1}{4}\left(a^2b^{2}+a^2c^{2}+b^{2}c^{2}\right)

Referensi: C Frohman, The Full Pythagorean Theorem, 2010

Posted in geometri | Tagged , , | 2 Comments

Kemungkinan Kita Masuk Surga

surgaIni hanya sekedar iseng, jangan dianggap serius tapi kalau mau dianggap serius juga gak papa :) . Sekarang kita akan menghitung kemungkinan kelak kita akan masuk surga. Berikut asumsi-asumsi yang digunakan:

  1. Pertama-tama jelas kita harus yakin tuhan itu ada. Sayang itu hanya sebatas keyakinan karena sampai sekarang kita tidak punya metode untuk membuktikan ataupun menyangkal keberadaan-Nya. So.. kita asumsikan kemungkinan Tuhan ada adalah : 1/2
  2. Setelah kita yakin DIA ada, selanjutnya kita harus yakin DIA menciptakan surga dan Neraka sekaligus tata cara bagaimana memasuki surga-NYA, yang disebut Agama. Kemungkinan DIA melakukan hal tersebut adalah: 1/2
  3. Sekarang kita yakin Tuhan menurunkan agama sebagai petunjuk untuk kita ikuti. Tetapi masalahnya ada begitu banyak agama di dunia. Menurut mbah Googel ada sekitar 4.200 agama di dunia ini. Semuanya mengklaim sebagai agama yang benar yang akan membawa kita ke surga. Sayangnya kita belum punya metode untuk memverifikasi kebenaran yang dikatakan agama. So.. asumsi hanya ada 1 agama yang benar maka kemungkian kita memeluk agama yang benar adalah: 1/4.200
  4. Asumsi kamu muslim dan yakin Islam agama yang benar tetapi menurut hadist, Islam terpecah menjadi 73 golongan dan hanya 1 golongan yang masuk surga. Kemungkinan kamu memeluk golongan yang masuk surga adalah: 1/73
  5. Kemungkinan kita bisa memenuhi semua syarat untuk masuk surga berdasarkan gologan agama yang kita anut adalah: 1/2

Gabungkan itu semua maka kemugkinan kita masuk surga adalah

Continue reading

Posted in probabilitas | Tagged , , | 7 Comments

Turunan

Sekarang kita akan membahas salah satu konsep terpenting di Matematika yaitu Turunan.

Di Semesta ini segala sesuatu berubah seiring berjalannya. Ada yang namanya laju perubahan, yaitu rasio besar peruhan terhadap interval waktu yag dibutuhkan (Note: sebenarnya tidak harus terhadap interval waktu terhadap hal lainnya juga boleh).

Contoh: Pada bulan Januari 2016 penduduk Desa Cikoneng ada 600 orang, 3 bulan kemudian jumlah penduduk desa cikoneng menjadi 630 orang maka laju pertumbuhan penduduk desa cikoneng adalah (630-600)/3 = 30/3 = 10 orang / bulan.

Kecepatan sebenarnya adalah laju perubahan jarak terhadap waktu. Nah… sekarang kita akan mematematikakan laju perubahan

Diberikan y=f(x),suatu fungsi dengan variabel x, misalkan nilai x beubah dari nilai awal x_0 ke nilai akhir x_1, dinotasikan \triangle x dibaca delta x, sebagai besar perubahan nilai x, yaitu

\triangle x=x_{1}-x_{0}

Itu berarti x_{1}=x_{0}+\triangle x.

Nilai \triangle x bisa positif atau negatif. Jika bernilai positif itu berarti x_{1}>x_{0}, sebaliknya jika x_{1}<x_{0} maka \triangle x akan bernilai negatif.

Karena nilai x berubah dari x_0 ke x_1=x_{0}+\triangle x maka dengan sendirinya nilai y berubah dari f(x_0) ke f(x_{0}+\triangle x)

Kita notasikan f(x_0)=y_0 dan f(x_{0}+\triangle x)=y_0+\triangle y. Itu berarti \triangle y adalah besar perubahan nilai y.

Kita sudah ngomongin \triangle x dan \triangle y. Nah rasio \triangle y terhadap \triangle x dinamakan laju perubahan rata-rata y terhadap x. Secara formal dinotasikan

{\displaystyle \frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{f\left(x_{0}+\triangle x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\triangle x}}

Contoh: Diberikan fungsi f\left(x\right)=\frac{1}{2}x, jika x_0=6 dan $latex \triangle x=2. Hitung Laju perubahan rata-ratanya

{\displaystyle \frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{4-3}{2}=\frac{1}{2}}

Continue reading

Posted in kalkulus | 1 Comment

Penjumlahan hasil sinus dan cosinus

Kembali kita bermain Trigonometri, kita akan membuktikan penjumlahan hasil sinus dan cosinus

  1. {\displaystyle \sin\theta+\sin\phi=2\sin\left(\frac{\theta+\phi}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta-\phi}{2}\right)}
  2. {\displaystyle \sin\theta-\sin\phi=2\sin\left(\frac{\theta-\phi}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta+\phi}{2}\right)}
  3. {\displaystyle \cos\theta+\cos\phi=2\cos\left(\frac{\theta+\phi}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta-\phi}{2}\right)}
  4. {\displaystyle \cos\theta-\cos\phi=-2\sin\left(\frac{\theta+\phi}{2}\right)\sin\left(\frac{\theta-\phi}{2}\right)}

Bukti:

Pertama-tama kita mengunakan sifat penjumlahan sudut

\sin\left(A+B\right)=\sin A\cos B+\cos A\sin B

\sin\left(A-B\right)=\sin A\cos B-\cos A\sin B

Jumlahkan keduanya

\sin\left(A+B\right)+sin\left(A-B\right)=\sin A\cos B+\cos A\sin B+\sin A\cos B-\cos A\sin B=2\sin A\cos B

Selanjutnya kurangi keduanya:

\sin\left(A+B\right)-sin\left(A-B\right)=\sin A\cos B+\cos A\sin B-\sin A\cos B+\cos A\sin B=2\cos A\sin B

Subtitusi \theta=A+B dan \phi=A-B yang berarti {\displaystyle A=\frac{\theta+\phi}{2}} dan {\displaystyle B=\frac{\theta-\phi}{2}}, diperoleh

{\displaystyle \sin\theta+\sin\phi=2\sin\left(\frac{\theta+\phi}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta-\phi}{2}\right)}

{\displaystyle \sin\theta-\sin\phi=2\cos\left(\frac{\theta+\phi}{2}\right)\sin\left(\frac{\theta-\phi}{2}\right)=2\sin\left(\frac{\theta-\phi}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta+\phi}{2}\right)}

Serupa untuk cosinus, pertama-tama kita gunakan penjumlahan sudut

Continue reading

Posted in kalkulus | Tagged , , , , | Leave a comment

Turunan dari x^x

Sekarang kita akan mencari turunan dari fungsi

y=x^{x}

Untuk melakukannya pertama-tama kita menggunakan sifat logaritma a=e^{\ln a} sehingga fungsi tersebut menjadi

{\displaystyle y=e^{\ln x^{x}}}

{\displaystyle y=e^{\ln x^{x}}}

Selanjutnya gunakan aturan rantai

{\displaystyle \frac{dy}{dx}=e^{x\ln x}\left(\ln x+1\right)}

{\displaystyle =x^{x}\left(\ln x+1\right)}

Kita telah mendapatkan turunan dari y=x^{x}

Posted in kalkulus | Tagged , , | Leave a comment

Selamat Natal 2015

natal

Selamat Natal bagi yang merayakan & selamat Berlibur :)

Posted in Non Math | Tagged | Leave a comment